Regla de Simpson

En integración numérica, una forma de aproximar una integral definida en un intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproxima f por un polinomio de primer grado, para luego calcular la integral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subintervalos .Consideramos el polinomio interpolador de orden dosSe puede calcular una estimación del error cometido al aproximar la integral mediante este método.Si las cuatro primeras derivadas de f(x) son continuas en el intervalo, entonces el error (en términos absolutos) está acotado como[2]​ donde, de nuevoEn el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande.Para ello, se recurre a la fórmula compuesta de Simpson.Se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales (con n par), de manera queAplicando la Regla de Simpson a cada subintervalotenemos: Sumando las integrales de todos los subintervalos, llegamos a que: El máximo error viene dado por la expresión, ya que la función se tabula con cuatro puntos de igual distancia h y formando tres subintervalos.se encuentra dentro del intervalo [a,b].Es más exacta que la regla de Simpson 3/8 simple, ya que divide el intervalo de integración en más subintervalos.Se expresa de la siguiente forma: tomandoPara el cálculo del error, se obtiene la cuarta derivada de la función y tomando en cuenta quedebe pertenecer al intervalo de integración, se aplica la siguiente fórmula: La fórmula fue utilizada por primera vez por Evangelista Torricelli, pero debe su nombre al matemático inglés Thomas Simpson.Corresponde a la regla del tonel que Johannes Kepler ya había formulado en 1615.Para la boda compró algunos toneles de vino.Puesto ya el vino en la bodega, el vendedor concurrió con una vara de medir y determinó el contenido para todos los barriles sin pensar o calcular, utilizando un mismo método, consistente en que introducía la punta de metal de la vara de medir a través de la piquera , en diagonal hacia los bordes de ambos fondos y la marca en la piquera arrojaba la medida del volumen del contenido.Kepler se sorprendió con aquello de que una diagonal a través del medio del barril pudiera dar una medida sobre el volumen contenido y puso en duda la exactitud de este método, debido a que, por ejemplo, un barril muy bajo que tuviera una base algo más ancha y por eso un volumen contenido mucho menor podría tener el mismo radio a la vista.Uno de estos métodos consistió en aproximar la curvatura del barril por una parábola, dado que los cálculos con ayuda de parábolas ya se podían realizar muy exactamente desde Arquímedes.[4]​ Entre otras cosas, Kepler describió en este texto una fórmula para el cálculo de la capacidad (más precisamente, del volumen) de barriles de vino con formas irregulares.Esta fórmula arroja valores exactos para el tronco de la pirámide (incluida la pirámide), la esfera, el paraboloide elíptico, el hiperboloide de una hoja y todas las demás superficies de un cuerpo que pueden ser generadas por secciones planas perpendiculares al eje del cuerpo.