Semieje mayor
En matemáticas, el semieje mayor de una elipse es la mitad del diámetro más largo;[1] su símbolo es a.
Los ejes mayor y menor son los ejes de simetría de la curva: en una elipse, el eje menor es el más corto; en una hipérbola, es el que no interseca a la hipérbola.
La ecuación de una elipse es donde (h, k) es el centro de la elipse en coordenadas cartesianas, en la que un punto arbitrario viene dado por (x, y).
El semieje mayor es el valor medio de las distancias máxima y mínima
En astronomía estos puntos extremos se denominan ápsides.
El eje menor es el segmento de línea más largo perpendicular al eje mayor que une dos puntos del borde de la elipse.
El semieje menor b se relaciona con el semieje mayor a a través de la excentricidad e y el recto semilatino.
La longitud del semieje menor también podría hallarse mediante la siguiente fórmula:[3] donde f es la distancia entre los focos, p y q son las distancias de cada foco a cualquier punto de la elipse.
El semieje mayor de una hipérbola es, según la convención, más o menos la mitad de la distancia entre las dos ramas; si ésta es a en la dirección x la ecuación es: En términos del semilato recto y la excentricidad tenemos El eje transversal de una hipérbola coincide con el eje mayor.
El semieje menor y el semieje mayor se relacionan a través de la excentricidad, de la siguiente manera: Nótese que en una hipérbola b puede ser mayor que a.
En astrodinámica el período orbital T de un cuerpo pequeño que orbita alrededor de un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es:[2]
donde: Obsérvese que para todas las elipses con un semieje mayor dado, el período orbital es el mismo, sin tener en cuenta su excentricidad.
El momento angular específico h de un cuerpo pequeño que orbita alrededor de un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es[2]
Para los objetos del Sistema Solar, el semieje mayor está relacionado con el periodo de la órbita por tercera ley de Kepler (originalmente empíricamente derivada):[2] donde T es el periodo, y a es el semieje mayor.
Esta forma resulta ser una simplificación de la forma general para el problema de los dos cuerpos, determinada por Newton:[2] donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa del cuerpo central, y m es la masa del cuerpo en órbita.
Haciendo esta suposición y utilizando las unidades astronómicas típicas se obtiene la forma más simple que descubrió Kepler.
[2] El semieje mayor se utiliza a veces en astronomía como la distancia primario-secundario cuando la relación de masas del primario respecto al secundario es significativamente grande (
); así, los parámetros orbitales de los planetas se dan en términos heliocéntricos.
La diferencia entre las órbitas primocéntricas y las "absolutas" puede ilustrarse mejor observando el sistema Tierra-Luna.
La suma de estas velocidades da una velocidad orbital lunar media geocéntrica de 1,022 km/s; el mismo valor puede obtenerse considerando sólo el valor del semieje mayor geocéntrico.
Puede ser matemáticamente probado que para un cuerpo orbitando, el semieje mayor representa la distancia media del cuerpo a la fuente central gravitacional.
Para los objetos del sistema solar, el semieje mayor está relacionado con el período de la órbita por la tercera ley de Kepler,[8] originalmente descrita como: donde P es el período medido en años, a es el semieje mayor medido en unidades astronómicas y k una constante de proporcionalidad.
Esta fórmula fue modificada por Newton al desarrollar su teoría gravitatoria, expresándola como:[9] donde G es la Constante de gravitación universal y M es la masa del cuerpo central.
Se suele decir que el semieje mayor es la distancia "media" entre el foco primario de la elipse y el cuerpo en órbita.
Esto no es del todo exacto, porque depende de sobre qué se tome la media.
La distancia media en tiempo y ángulo del cuerpo en órbita puede variar en un 50-100% respecto al semieje mayor orbital, dependiendo de la excentricidad.
para una órbita elíptica y, dependiendo de la convención, igual o
Sin embargo, la mínima diferencia entre los ejes semimayor y semiminor muestra que son prácticamente circulares en apariencia.
, que para las excentricidades típicas de los planetas arroja resultados muy pequeños.
Debido a la gran diferencia entre el afelio y el perihelio, Segunda ley de Kepler se visualiza fácilmente.
