Identidad de Euler
En matemáticas, la identidad de Euler es la igualdad: donde: Esta identidad es considerada una belleza matemática por vincular distintas áreas de esa ciencia formal que parecen distintas y sin relación alguna a simple vista.
La identidad de Euler se cita a menudo como ejemplo de belleza matemática profunda.
[1] Tres de las operaciones aritméticas básicas ocurren exactamente una vez cada una: suma, multiplicación y exponenciación.
La identidad también relaciona cinco constantes matemáticas fundamentales:[2] Además, la ecuación se da en forma de una expresión puesta igual a cero, lo cual es una práctica común en varias áreas de las matemáticas.
[5] Y Benjamin Peirce, un filósofo, matemático y profesor de la Universidad de Harvard estadounidense del siglo XIX, tras demostrar la identidad de Euler durante una conferencia, afirmó que la identidad "es absolutamente paradójica; no podemos entenderla, y no sabemos lo que significa, pero la hemos demostrado, y por lo tanto sabemos que debe ser la verdad".
[6] Una encuesta entre los lectores realizada por The Mathematical Intelligencer en 1990 nombró la identidad de Euler como el teorema más bello de las matemáticas.
[7] En otra encuesta entre los lectores realizada por Physics World en 2004, la identidad de Euler empató con las ecuaciones de Maxwell (del electromagnetismo) como la "mayor ecuación de la historia".
En particular si entonces y ya que y que se sigue que Lo cual implica la identidad Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que: en el desarrollo polinómico de e a la potencia x: para obtener: simplificando (usando
): Al separar el segundo miembro de la ecuación en subseries real e imaginarias: Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica El logaritmo natural de un número complejo
Esta definición no es la única posible, ya que se pudo haber definido en [0, 2π), etc. Para logaritmos de otras bases, se tiene la siguiente relación mediante "cambio de base" : Por ejemplo : Y también se cumple: Lo anterior se puede deducir de la definición.
Este detalle se explicará a continuación.
Lo anterior es válido si a y b son números reales, pero en complejos esto no se siempre se cumple.
con la identidad de Euler, pero no es recomendable hacerlo, porque se puede cometer errores como lo descrito más arriba, ya que no siempre se cumple el hecho de que si
Esto último no es correcto y el motivo es que Porque
solo se cumple de manera general si a es positivo.
El número áureo (también llamado número de oro) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) o Φ (Phi) = 1,61803398874988.... Una de sus propiedades es:
Ordenando los términos de la ecuación queda:
De esta manera se relacionan seis números muy utilizados, cinco operaciones de las matemáticas y la ecuación cuadrática.
Este punto también puede representarse en Coordenadas polares como
, donde r es el valor absoluto de z (distancia desde el origen), y
es el argumento de z (ángulo en sentido antihorario desde el eje x positivo).
Según la fórmula de Euler, esto equivale a decir
La identidad de Euler dice que
, esto puede interpretarse como un hecho sobre el número -1 en el plano complejo: su distancia al origen es 1, y su ángulo desde el eje positivo x es
Además, cuando cualquier número complejo z es multiplicado por
Puesto que la multiplicación por -1 refleja un punto a través del origen, la identidad de Euler puede interpretarse como que girar cualquier punto
radianes alrededor del origen tiene el mismo efecto que reflejar el punto a través del origen.
que puede interpretarse como que girar cualquier punto un [[ángulo]|giro]] alrededor del origen lo devuelve a su posición original.
Sean {i, j, k} elementos básicos.
Entonces En general, si se dan a1, a2, a3 reales tales que a a12 + a22 + a32 = 1 , entonces Para octonions , con an real tal que an , y con a12 + a22 + ... + a72 = 1 Si bien la identidad de Euler es un resultado directo de la fórmula de Euler, publicada en su obra monumental de análisis matemático en 1748, Introductio in analysin infinitorum,[12] es cuestionable si el concepto particular de vincular cinco constantes fundamentales en una forma compacta se puede atribuir al propio Euler, ya que es posible que nunca lo haya expresado.
