; en geometría algebraica es simultáneamente un espacio topológico equipado con el haz de anillos[3]
Para cualquier ideal I de R, se define
como el conjunto de ideales primos que contienen I.
es un espacio compacto, pero casi nunca un espacio de Hausdorff: de hecho, los ideales máximos en R son precisamente los puntos cerrados en esta topología.
con la topología de Zariski, el haz de estructura OX se define en los subconjuntos abiertos distinguidos Df estableciendo Γ(Df, OX) = Rf, la localización de R por las potencias de f. Se puede demostrar que esto define un B-haz y por lo tanto define un haz.
Más detalladamente, los subconjuntos abiertos distinguidos son una base de la topología de Zariski, por lo que para un conjunto abierto arbitrario U, descrito como la unión de {Dfi}i∈I, se establece Γ(U ,OX) = limi∈I Rfi.
Cualquier espacio anillado isomorfo a uno de esta forma se denomina esquema afín.
De manera similar, para un módulo M sobre el anillo R, se puede definir un haz
Para ello, en los subconjuntos abiertos distinguidos se establece Γ(Df,
Como antes, esta construcción se extiende a un haz previo en todos los subconjuntos abiertos de
, es decir, un ideal primo, entonces el tallo del haz de estructura en P es igual a la localización de R en el ideal P, y este es un anillo local.
Si R es un dominio integral, con cuerpo de fracciones K, entonces se puede describir el anillo Γ(U,OX) más concretamente de la siguiente manera.
Se dice que un elemento f en K es regular en un punto P en X si se puede representar como una fracción f = a/b con b no en P. Se debe tener en cuenta que esto concuerda con la noción de función regular en geometría algebraica.
Usando esta definición, se puede describir Γ(U,OX) precisamente como el conjunto de elementos de K que son regulares en cada punto P en U.
(dado que la preimagen de cualquier ideal primo en
Siguiendo con el ejemplo, en geometría algebraica se estudian los conjuntos algebraicos, es decir, subconjuntos de Kn (donde K es un cuerpo algebraicamente cerrado) que se definen como los ceros comunes de un conjunto de polinomios en n variables.
Los puntos de A son cerrados en el espectro, mientras que los elementos correspondientes a subvariedades tienen un cierre formado por todos sus puntos y subvariedades.
Si solo se consideran los puntos de A, es decir, los ideales máximos en R, entonces la topología de Zariski definida anteriormente coincide con la topología de Zariski definida sobre conjuntos algebraicos (que tiene precisamente los subconjuntos algebraicos como conjuntos cerrados).
como un "enriquecimiento" del espacio topológico A (con topología de Zariski): para cada subvariedad de A, se ha introducido un punto no cerrado adicional, y este punto "sigue la pista" de la subvariedad correspondiente.
está claro en el contexto, entonces el espectro relativo puede indicarse como
Más precisamente, así como el Spec y el funtor de sección global son adjuntos a la derecha contravariantes entre la categoría de anillos y los esquemas conmutativos, el Spec global y el funtor de imagen directa para la aplicación estructural son adjuntos a la derecha contravariantes entre la categoría de
la fibra se puede calcular observando la composición de los diagramas hacia atrás donde la composición de las flechas inferiores da la recta que contiene el punto
Desde la perspectiva de teoría de representación, un ideal primo I corresponde a un módulo R/I, y el espectro de un anillo corresponde a representaciones cíclicas irreducibles de R, mientras que las subvariedades generales corresponden a representaciones posiblemente reducibles que no necesitan ser cíclicas.
corresponde a elegir una base para el espacio vectorial.
es una representación cíclica de R (significado cíclico generado por un elemento como un módulo R; esto generaliza las representaciones unidimensionales).
En el caso de que el cuerpo sea algebraicamente cerrado (como por ejemplo, los números complejos), todo ideal maximal corresponde a un punto en el espacio n, por el teorema de los ceros de Hilbert (el ideal máximo generado por
Por lo tanto, los puntos en el espacio n dimensional, considerados como el espectro máximo de
Los ideales no máximos corresponden entonces a representaciones de dimensiones infinitas.
Dado un operador lineal T en un espacio vectorial de dimensión finita V, se puede considerar el espacio vectorial con operador como un módulo sobre el anillo polinómico en una variable R=K [T], como en el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal.
Por ejemplo, para la matriz identidad 2×2 tiene el módulo correspondiente: la matriz cero 2×2 tiene módulo mostrando la multiplicidad geométrica 2 para el valor propio cero, mientras que una matriz nilpotente 2×2 no trivial tiene un módulo mostrando multiplicidad algebraica 2 pero multiplicidad geométrica 1.