Variedad algebraica

En geometría algebraica, una variedad algebraica es esencialmente un conjunto de puntos (finito o infinito) en los cuales un polinomio (de una o más variables) toma un valor cero, o en el cual un conjunto de tales polinomios toma un valor cero.Las convenciones relativas a la definición de una variedad algebraica difieren ligeramente.Posteriormente, se pueden definir variedades proyectivas y cuasi-proyectivas de forma similar.Para cada conjunto S de polinomios en K[x1, ..., xn], define el lugar geométrico de los ceros Z(S) que son el conjunto de puntos en An en los cuales las funciones en S se anulan simultáneamente, es decir: Un subconjunto V de An es denominado un conjunto algebraico afín si V = Z(S) para algún S.[1]​: 2  Un conjunto algebraico afín no vacío V se denomina irreducible si no puede ser expresado como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios.[1]​: 10 Las variedades proyectivas también cuentan con la topología de Zariski declarando que todos los conjuntos algebraicos son cerrados.La desventaja de esta definición es que no todas las variedades tienen incrustaciones naturales en el espacio proyectivo.En consecuencia, muchas nociones que deberían ser intrínsecas, como el concepto de función regular, no lo son obviamente.Claude Chevalley hizo una definición de esquema, que servía para un propósito similar, pero era más general.[5]​ Sea k = C, y A2 sea el espacio afín bidimensional sobre C. Los polinomios en el anillo C[x, y] pueden verse como funciones de valor complejo en A2 evaluando en los puntos de A2.Es irreducible, ya que no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios.Sea k = C, y A2 sea el espacio afín bidimensional sobre C. Los polinomios en el anillo C[x, y] pueden verse como funciones de valor complejo en A2 evaluando en los puntos de A2.Como g(x, y) es un polinomio absolutamente irreducible, se trata de una variedad algebraica.El conjunto de sus puntos reales (es decir, los puntos para los que x e y son números reales), se conoce como el círculo unitario; este nombre también se da a menudo a toda la variedad.Se puede definir mediante las ecuaciones La irreducibilidad de este conjunto algebraico necesita una demostración.Para ejemplos más difíciles, siempre se puede dar una prueba similar, pero puede implicar un cálculo difícil: primero una base de Gröbner para calcular la dimensión, seguida de un cambio lineal aleatorio de variables (no siempre necesario); luego una base de Gröbner para otro orden monomial para calcular la proyección y probar que es genéricamente inyectiva y que su imagen es una hipersuperficie, y finalmente una factorización polinómica para probar la irreductibilidad de la imagen.