Se denomina valoración a una aplicación de un anillo conmutativo unitario
distinto de cero a un grupo abeliano totalmente ordenado
y su unión con el infinito que verifica las siguientes propiedades: Notas: Se dice que dos valoraciones v y v' en A son equivalentes si hay un isomorfismo de semigrupos ordenados Cuando el grupo G es ℤ, v se denomina valoración de Dedekind o valoración discreta.
Dos valoraciones discretas v y v' sobre A son equivalentes si y solamente si son proporcionales, es decir, si existe un número racional k no nulo tal que Las clases de equivalencia de valoraciones discretas en un anillo se denominan sus lugares.
Se asocia con v un valor absoluto ultramétrico (la noción de valor absoluto generalmente se define en un campo, pero perfectamente definible en cualquier anillo, y siempre induce una distancia en su conjunto subyacente; véase más adelante) expresado como | ∙ |v; y tal que La distancia asociada a este valor absoluto (
Por ejemplo, los cuerpos ℚp y k((T)) pueden obtenerse mediante esta construcción.
Sea K un campo conmutativo y K[X] el anillo de polinomios con coeficientes en K. Se define la aplicación que a un polinomio P asocia el opuesto de su grado, con la convención de que el grado del polinomio cero es (-∞).
Si U es un conjunto abierto conexo no vacío del cuerpo de los números complejos; y si A es un punto de U, se tiene una valoración en el cuerpo de funciones meromorfas en U por asociar a cualquier función meromorfa su orden en el punto A.
La aplicación vp se denomina valoración p-ádica en ℤ y se extiende sobre el campo de fracciones Es falso Sea K un cuerpo conmutativo dotado de una valoración v.
[2] Para cualquier campo k y cualquier grupo abeliano completamente ordenado G, existe un campo valorado (K, v) cuyo grupo de valoración es G y cuyo cuerpo residual R/M es k.[3]