Espacio ultramétrico
En matemáticas, un espacio ultramétrico es un espacio métrico en cual la desigualdad triangular es fortalecida a
d ( x , z ) ≤ max
Algunas veces, la métrica asociada es también llamada métrica no arquimedeana o supermétrica.
Aunque algunos de los teoremas para espacios ultramétricos puedan parecer extraños a la primera vista, aparecen naturalmente en varias aplicaciones.
Formalmente, un espacio ultramétrico es un conjunto de puntos
con una función distancia asociada (también llamada métrica) (donde
es el conjunto de números reales), de forma que para todo
es generado por una función de longitud
(de forma que
), la última propiedad puede ser fortalecida utilizando el afilado de Krull a: Tenemos que probar que si
Sin pérdida de generalidad, asumiremos que
, contrariamente a la suposición inicial.
Utilizando la desigualdad inicial, tenemos que
A partir de la definición de arriba, uno puede concluir severas propiedades típicas de los ultramétricos.
Por ejemplo, en un espacio ultramétrico, para cada
, por lo menos una de las tres igualdades
Eso dice que cada triple de puntos en el espacio forma un triángulo isósceles, por ende, el espacio entero es un conjunto isósceles.
En lo siguiente, el concepto y notación de una bola abierta es el mismo que en el artículo sobre espacio métrico, esta es: La demostración de estos enunciados es un ejercicio instructivo.
Toda derivan directamente de la desigualdad triangular ultramétrica.
Nótese que, por el segundo enunciado, una bola puede tener varios centros que poseen una distancia diferente de cero.
La intuición detrás de lo que parecen efectos muy extraños es que, debido a la fuerte desigualdad triangular, las distancias en ultramétricas no se suman.
