Producto (matemáticas)

En matemáticas, un producto es el resultado de una multiplicación, o una expresión que identifica objetos (números o variables) que se deben multiplicar, llamados factores.Cuando uno de los factores es un número entero, el producto se llama múltiplo.El orden en el que se multiplican los números reales o los números números complejos no tiene relación con la expresión del producto, lo que se conoce como la ley conmutativa de la multiplicación.Cuando se multiplican matrices o elementos de varias álgebras asociativas, el producto generalmente depende del orden de los factores.Existen muchos tipos diferentes de productos en matemáticas: además de poder multiplicar simplemente números, polinomios o matrices, también se pueden definir productos sobre muchas estructuras algebraicas diferentes.Con la introducción de la notación matemática y las variables a finales del siglo XV, se volvió común considerar la multiplicación de números que no están especificados (coeficientes y parámetros) o que se pueden encontrar (incógnitas).Posteriormente, y en especial a partir del siglo XIX, se han introducido nuevas operaciones binarias, que no involucran únicamente un par de cifras, y que se han llamado productos, como por ejemplo, el producto escalar.La mayor parte de este artículo está dedicada a estos productos no numéricos.El producto de una sucesión que consta de un solo número es simplemente ese número en sí mismo; el producto de ningún factor en absoluto se conoce como producto vacío, y es igual a 1.Los anillos conmutativos poseen en su estructura una operación de producto.se pueden sumar: y multiplicar: Dos funciones de los números reales sobre sí mismos se pueden multiplicar de otra manera, llamada convolución.Si entonces la integral está bien definida y se llama convolución.En las siguientes secciones se ofrece una breve descripción general de estas operaciones.Por la propia definición de un espacio vectorial, se puede formar el producto de cualquier escalar con cualquier vector, dando una funciónUn producto escalar es una función bilineal: con las siguientes condiciones, queA partir del producto escalar, se puede definir una norma haciendo queEl producto escalar también permite definir un ángulo entre dos vectores: En el espacio euclídeo de dimensión, el producto escalar estándar (llamado producto escalar) viene dado por: El producto vectorial de dos vectores en tres dimensiones es un vector perpendicular a los dos factores, con una longitud igual al área del paralelogramo abarcado por los dos factores.También se puede expresar informalmente [3]​ como el determinante: Una aplicación lineal se puede definir como una función f entre dos espacios vectoriales V y W con un cuerpo subyacente F, que satisface[4]​ Si solo se consideran espacios vectoriales de dimensión finita, entonces expresión en la que bV y bW denotan las bases de V y W, y vi denota las componentes de v en bVi, y se aplica el convenio de suma de Einstein.Entonces, se puede obtener O en forma matricial: expresión en la que el elemento de la fila i, columna j de F, denotado por Fij, es fji, y Gij=gji.Dadas dos matrices su producto está dado por Existe una relación entre la composición de funciones lineales y el producto de dos matrices.Para ver esto, sean r = dim(U), s = dim(V) y t = dim(W) las dimensiones (finitas) de los espacios vectoriales U, V y W. Seala matriz que representa f : U → V yDados dos espacios vectoriales de dimensión finita V y W, su producto tensorial puede definirse como un (2,0)-tensor que satisface: donde V* y W* denotan los espacios duales de V y W.[5]​ Para espacios vectoriales de dimensión infinita, también se tiene El producto tensorial, el producto externo y el producto de Kronecker transmiten la misma idea general.Las diferencias entre ellos son que el producto de Kronecker es simplemente un producto tensorial de matrices, con respecto a una base previamente fijada, mientras que el producto tensorial suele darse en su definición intrínseca.En general, siempre que se tengan dos objetos matemáticos que se puedan combinar de manera que se comporten como un producto tensorial en álgebra lineal, entonces esto se puede entender de manera más general como el producto interno de una categoría monoidal.[6]​ La clase de todas las cosas (de un tipo dado) que tienen productos cartesianos se llama categoría cartesiana, que en su mayoría se trata de categorías cartesianas cerradas.Los conjuntos son un ejemplo de tales objetos.