Unión puntual

En topología, la unión puntual o suma de cuña consiste en "enganchar" de una familia de espacios topológicos por un punto.

son espacios puntados (es decir, espacios topológicos con puntos distinguidos o "destacados"

) la unión puntual de

es el espacio cociente de la unión disjunta de

es la clausura de equivalencia de la relación

(es decir, identificamos los puntos destacados como un solo punto).

Más en general, supongamos

es una familia indexada de espacios puntados con puntos distinguidos

La unión puntual de la familia viene dada por:

es la clausura de equivalencia de la relación

: i , j ∈

(es decir, identificamos los puntos destacados de cada espacio como un solo punto).

En otras palabras, la unión puntual consiste en enganchar varios espacios por un solo punto.

Esta definición depende de la elección de los puntos destacados

, a no ser que los espacios

La unión puntual de espacios (puntados para hacer la construcción) vuelve a ser un espacio puntado (el punto donde se enganchan los espacios es destacado) y, como operación binaria, es asociativa y conmutativa (salvo homeomorfismo).

La unión puntual de dos círculos es homeomorfa a un espacio en forma de ocho.

La unión puntual de

círculos a menudo se denominan ramo o bouquet de

círculos o rosa de

pétalos, mientras que la unión puntual de esferas arbitrarias se suele llamar ramo (o bouquet) de esferas.

Una construcción común en homotopía consiste en identificar todos los puntos a lo largo del ecuador de una

{\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}

Al hacerlo, se obtienen dos copias de la n-esfera, unidas en el punto que era el ecuador, es decir, la unión puntual de dos n-esferas:

{\displaystyle \mathbb {S} ^{n}/{\sim }=\mathbb {S} ^{n}\vee \mathbb {S} ^{n}.}

La unión puntual puede entenderse como el coproducto en la categoría de espacios puntados.

Alternativamente, la suma de la cuña puede verse como el pushout del diagrama

en la categoría de espacios topológicos (donde

es cualquier espacio de un punto).