Familia indexada

Más formalmente, una familia indexada es una función matemática junto con su dominio(es decir, las familias indexadas y las funciones matemáticas son técnicamente idénticas, solo que los puntos de vista son diferentes).Desde esta visión, las familias indexadas se interpretan como colecciones de elementos indexados en lugar de funciones.se denomina "conjunto índice" de la familia, yLas secuencias son un tipo de familias indexadas por números naturales.no está restringido a ser numerable.Por ejemplo, se podría considerar una familia innumerable de subconjuntos de números naturales indexados por los números reales.establece así una familia de elementos enA veces se utilizan corchetes angulares o llaves en lugar de paréntesis, aunque el uso de llaves implica el riesgo de confundir familias indexadas con conjuntos.Las funciones y las familias indexadas son formalmente equivalentes, ya que cualquier funciónEn la práctica, sin embargo, la familia se considera una colección más que una función.Sin embargo, las familias se diferencian de los conjuntos en que el mismo objeto puede aparecer varias veces con diferentes índices en una familia, mientras que un conjunto es una colección de objetos distintos.Una familia contiene cualquier elemento exactamente una vez si y solo si la función correspondiente es inyectiva.no contiene información sobre ninguna estructura enPor lo tanto, al utilizar un conjunto en lugar de una familia, se podría perder parte de la información.Por ejemplo, un orden en el conjunto de índices de una familia induce un orden en la familia, pero no un orden en el conjunto de imágenes correspondiente.Por ejemplo, considérese la siguiente oración: Aquí,solo tiene sentido con respecto a esta familia, ya que los conjuntos están desordenados, por lo que no existe unAdemás, la independencia lineal se define como una propiedad de una colección; y por lo tanto, es importante si estos vectores son linealmente independientes como conjunto o como familia.como el mismo vector, entonces el "conjunto" de ellos consta de un solo elemento (ya que el conjunto es una colección de elementos distintos desordenados) y es linealmente independiente, pero la familia contiene los mismos elementos dos veces (ya que está indexado de manera diferente) y es linealmente dependiente (los mismos vectores son linealmente dependientes).Supóngase que un texto afirma lo siguiente: Como en el ejemplo anterior, es importante que las filas desean linealmente independientes como familia, no como conjunto.Por otro lado, la familia de las filas contiene dos elementos indexados de manera diferente, como la primera filaPor lo tanto, la afirmación es correcta si se refiere a la familia de filas, pero incorrecta si se refiere al conjunto de filas.La afirmación también es correcta cuando se interpreta que "las filas" se refieren a un multiconjunto, en el que los elementos también se mantienen distintos pero que carece de parte de la estructura de una familia indexada.Los conjuntos de índices se utilizan a menudo en sumas y otras operaciones similares.es una familia indexada de números, la suma de todos esos números se denota por Cuandoes una familia de conjuntos, la unión de todos esos conjuntos se denota por Lo mismo ocurre con la intersección y el producto cartesiano.El concepto análogo en teoría de categorías se llama diagrama.Un diagrama es un funtor que da lugar a una familia indexada de objetos en una categoría C, indexados por otra categoría J y relacionados por morfismos dependientes de dos índices.