En geometría algebraica, el operador Proy es una construcción análoga al espectro-de-un-anillo en los esquemas afines, que produce objetos con las propiedades típicas de los espacios proyectivos y de las variedades proyectivas.
La construcción, si bien no es funtorial, es una herramienta fundamental en la teoría de esquermas.
En este artículo se asumirá que todos los anillos considerados son conmutativos y con elemento identidad.
Como en el caso de los esquemas afines, se comprueba rápidamente que los
son complementarios y, por tanto, la misma prueba anterior demuestra que los conjuntos
, llamado haz de estructura como en el caso afín, lo que lo convierte en un esquema.
y, por lo tanto, con las modificaciones menores apropiadas, la sección anterior construye para cualquier
(por ejemplo, un anillo polinómico o un cociente homogéneo del mismo), todos los haces cuasicoherentes en
Un caso especial del haz asociado a un módulo graduado es cuando se toma
con una calificación diferente: es decir, se deja que los elementos de grado
, y en conjunto contienen toda la información de calificación que se perdió.
, también se espera que contenga la información de clasificación perdida sobre
sea un anillo polinómico, como se muestra a continuación.
tiene un morfismo proyectivo canónico con respecto a la recta afín
cuyas fibras son curvas elípticas excepto en los puntos
variables se puede convertir en un esquema proyectivo utilizando la construcción Proy para el álgebra graduada:
Los espacios proyectivos ponderados se pueden construir utilizando un anillo polinómico cuyas variables tienen grados no estándar.
La construcción proy se extiende a anillos bigraduados y multigraduados.
Geométricamente, esto corresponde a tomar productos de esquemas proyectivos.
Por ejemplo, dados los anillos graduados: con el grado de cada generador
Entonces, la construcción proy da: que es un producto de esquemas proyectivos.
Esta construcción se utiliza a menudo, por ejemplo, para construir el espacio proyectivo paquetes sobre un esquema base.
Formalmente, sea X cualquier esquema y S un haz de álgebras graduadas
-módulos en un espacio localmente anillado): es decir, un haz con una descomposición de la suma donde cada
Se hace la suposición adicional de que S es un haz cuasi-coherente.
y una aplicación de "proyección" p sobre X tal que para cada afín abierto U de X, Esta definición sugiere que se construya
para cada U afín abierto, estableciendo que y aplica
(es decir, cuando se pasa al tallo del haz S en un punto x de X, que es un álgebra graduada cuyos elementos de grado cero forman el anillo
y luego el de grado uno (los elementos forman un módulo generado finitamente sobre
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