Distribución exponencial
En Teoría de Probabilidad y Estadística, la distribución exponencial es una distribución continua que se utiliza para modelar tiempos de espera para la ocurrencia de un cierto evento.
Esta distribución al igual que la distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida de memoria.
Se dice que una variable aleatoria continua
Su función de distribución acumulada está dada por para
La distribución exponencial en ocasiones se parametriza en términos del parámetro de escala
en cuya caso, la función de densidad será para
De forma adicional esta distribución presenta una función adicional que es función Supervivencia (S), que representa el complemento de la Función de distribución.
es una variable aleatoria tal que
Esto puede demostrarse fácilmente pues La función cuantil (inversa de la función de distribución acumulada) para una variable aleatoria
está dada por por lo que los cuantiles son: El primer cuartil es La mediana es Y el tercer cuartil está dado por El valor condicional en riesgo (CVaR) también conocido como déficit esperado o supercuantil para Exp(λ) se obtiene de la siguiente manera:[1]
La probabilidad amortiguada de superación es uno menos el nivel de probabilidad en el que el CVaR es igual al umbral
Se obtiene de la siguiente manera:[1]
Entre todas las distribuciones de probabilidad continuas con soporte cerrada-abierta 0, ∞ y media μ, la distribución exponencial con λ = 1/μ tiene la mayor entropía diferencial.
En otras palabras, es la distribución de probabilidad de máxima entropía para una variante aleatoria X que es mayor o igual que cero y para la que E[X] es fija.
[2] Sean X1, ..., Xn variables aleatorias exponencialmente distribuidas con parámetros de tasa λ1, ..., λn.
Esto puede verse considerando la función de distribución acumulativa complementaria:
El índice de la variable que alcanza el mínimo se distribuye según la distribución categórica
Puede verse una prueba dejando que
independent and identically distributed variables aleatorias exponenciales con parámetro de tasa λ.
los correspondientes estadísticos de orden.
Esto puede verse invocando la ley de la expectativa total y la propiedad sin memoria:
by the memoryless property
La tercera ecuación se basa en la propiedad sin memoria para reemplazar
Ejemplos para la distribución exponencial es la distribución de la longitud de los intervalos de una variable continua que transcurren entre dos sucesos, que se distribuyen según la distribución de Poisson.
se construye como sigue: La función de verosimilitud está dada por donde es la media muestral.
es un estimador NO insesgado pues En la hidrología, la distribución exponencial se emplea para analizar variables aleatorias extremos de variables como máximos mensuales y anuales de la precipitación diaria.
[5] Para obtener números pseudoaleatorios la variable aleatoria
, se utiliza un algoritmo basado en el método de la transformada inversa.
a partir de una variable aleatoria
por lo que una versión más eficiente del algoritmo es Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la exponencial, a una serie de datos:
