Función de densidad de probabilidad
Esta probabilidad viene dada por la integral de la FDP de esta variable sobre ese rango, es decir, viene dada por el área bajo la función de densidad pero por encima del eje horizontal y entre los valores más bajos y más altos del rango.
La función de densidad de probabilidad es no negativa en todas partes, y el área bajo la curva completa es igual a 1.
Sin embargo, este uso no es estándar entre probabilistas y estadísticos.
[3] En general, sin embargo, la PMF se utiliza en el contexto de variables aleatorias discretas (variables aleatorias que toman valores en un conjunto contable), mientras que la PDF se utiliza en el contexto de variables aleatorias continuas.
con los conjuntos Borel como subconjuntos medibles), tiene como distribución de probabilidad la medida X∗P en
No es posible definir una densidad con referencia a una medida arbitraria (por ejemplo, no se puede elegir la medida de recuento como referencia para una variable aleatoria continua).
Además, cuando existe, la densidad es casi única, lo que significa que dos densidades cualesquiera coinciden casi en todas partes.
La distribución normal estándar tiene densidad de probabilidad
Si una variable aleatoria X está dada y su distribución admite una función de densidad de probabilidad f, entonces el valor esperado de X (si el valor esperado existe) puede calcularse como
No todas las distribuciones de probabilidad tienen función de densidad: las distribuciones de variables aleatorias discretas no la tienen; tampoco la distribución de Cantor, aunque no tiene componente discreta, es decir, no asigna probabilidad positiva a ningún punto individual.
Una distribución tiene una función de densidad si y sólo si su función de distribución acumulativa F(x) es absolutamente continua.
En este caso: F es en casi todas partes diferenciable, y su derivada puede usarse como densidad de probabilidad:
Si una distribución de probabilidad admite una densidad, entonces la probabilidad de todo conjunto unipunto {a} es cero; lo mismo vale para conjuntos finitos y contables.
Esta definición alternativa es la siguiente: Si dt es un número infinitamente pequeño, la probabilidad de que X esté incluido dentro del intervalo (t, t + dt) es igual a f(t) dt, o:
es una función integrable de Lebesgue no negativa, si:
entonces la función de densidad conjunta puede obtenerse como una derivada parcial Para
como Es posible representar ciertas variables aleatorias discretas, así como variables aleatorias que implican tanto una parte continua como una discreta, con una Función generalizada función de densidad de probabilidad utilizando la Función delta de Dirac.
Por ejemplo, consideremos una variable aleatoria discreta binaria que tiene la distribución de Rademacher-es decir, que toma -1 o 1 por valores, con probabilidad cada uno.
La densidad de probabilidad asociada a esta variable es:
son los valores discretos accesibles a la variable y
son las probabilidades asociadas a estos valores.
La expresión anterior permite determinar características estadísticas de dicha variable discreta (como la media, la varianza y la curtosis), partiendo de las fórmulas dadas para una distribución continua de la probabilidad.
Por ejemplo, la distribución normal se parametriza en términos de la media y la varianza, denotadas por
Desde la perspectiva de una distribución dada, los parámetros son constantes, y los términos en una función de densidad que contienen sólo parámetros, pero no variables, son parte del factor de normalización de una distribución (el factor multiplicativo que asegura que el área bajo la densidad -la probabilidad de que ocurra algo en el dominio- es igual a 1).
Puesto que los parámetros son constantes, re-parametrizar una densidad en términos de parámetros diferentes para dar una caracterización de una variable aleatoria diferente en la familia, significa simplemente sustituir los nuevos valores de los parámetros en la fórmula en lugar de los antiguos.
La probabilidad de que una bacteria viva exactamente 5 horas es igual a cero.
Muchas bacterias viven aproximadamente 5 horas, pero no hay ninguna probabilidad de que una determinada bacteria muera exactamente a las 5,00... horas.
La probabilidad de que la bacteria muera entre 5 horas y 5,0001 horas debería ser de aproximadamente 0,0002, y así sucesivamente.
En este ejemplo, la relación (probabilidad de morir durante un intervalo) / (duración del intervalo) es aproximadamente constante, e igual a 2 por hora (o 2 hora-1).
Por tanto, la probabilidad de que la bacteria muera a las 5 horas puede escribirse como (2 hora-1) dt.
