En matemáticas, el corchete de Iverson, nombrado en honor al matemático canadiense Kenneth Iverson, es una notación utilizada para generalizar la delta de Kronecker.
Convierte cualquier proposición lógica en un número que es 1 si la proposición es satisfecha, y 0 si no, y es generalmente escrita colocando la proposición entre corchetes (o paréntesis) rectos: donde
es una declaración que puede ser verdadera o falsa.
En contexto de sumatoria, la notación puede ser utilizada para escribir cualquier suma como una suma infinita sin límites: Si
es cualquier propiedad del entero
Nótese que, por esta convención, un sumando
debe evaluar a 0 independientemente de si
Igualmente para la multiplicatoria: La notación fue originalmente introducida por Kenneth Iverson en su lenguaje de programación APL,[1][2] aunque limitado a operadores simples relacionales entre paréntesis, mientras que la generalización a declaraciones arbitrarias, limitada notacionalmente a paréntesis rectos, y las aplicaciones en sumatoria, defendida por Donald Knuth para evadir ambigüedades en expresiones lógicas entre paréntesis.
[3] Existe una correspondencia directa entre aritmética en los corchetes de Iverson, la lógica y conjuntos de operaciones.
cualquier propiedad de enteros; entonces tenemos La notación permite mover condiciones de límites de sumatorias (o integrales) como factores separados dentro del sumando, liberando espacio alrededor del operador de sumatoria, pero más importante permitiéndole ser manipulado algebraicamente.
Nostros mecánicamente derivamos una regla muy conocida para manipular sumas utilizando los corchetes de Iverson: La conocida regla
{\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}\,\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\,\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}
es, de la misma manera, fácilmente derivada como: Por ejemplo, la función phi de Euler, que cuenta el número de enteros positivos hasta
, los cuales son primos entre sí con
, puede ser expresada como Otro uso de los corchetes de Iverson es el simplificar ecuaciones con casos especiales.
Para obtener una identidad válida para todos los enteros positivos
está definido), un término de corrección involucrando al corchete de Iverson puede ser agregado: Muchas funciones comunes, especialmente aquellas con una definición natural pieza por pieza, puede ser expresada en términos del corchete de Iverson.
Esto es, La función indicatriz, a veces denotada
, es un corchete de Iverson con correspondencia definida como su condición: Las funciones escalón de Heaviside, signo,[1] y valor absoluto son fácilmente expresadas en esta notación: y Las funciones de comparación máximo y mínimo (que devuelve el más grande o el más chico de dos argumentos) puede ser escrita como Las funciones piso y techo pueden ser expresadas como y donde el índice
de la sumatoria es entendido como que alcanza a todos los enteros.
La función rampa puede ser expresada como La tricotomía de los reales es equivalente a la identidad La función de Möbius tiene la propiedad (y puede ser definida por recurrencia) como En los años 1830, Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja utilizó
como un reemplazo para lo que hoy día se escribiría como
, al igual que otras variantes como
[3] De hecho, siguiendo las convenciones habituales, estas cantidades con iguales donde está definido que
, y de otra forma indefinido.