Apaciguador (matemáticas)

En matemáticas, un apaciguador (nombre original en inglés: mollifier),[1]​ también conocido como aproximación a la identidad, es una función suave con propiedades especiales, que se utiliza, por ejemplo, en la teoría de distribuciones para crear sucesiones de funciones suaves que se aproximan a funciones (generalizadas) no suaves, mediante convolución.Intuitivamente, dada una función que sea bastante irregular, puede "suavizarse" al convolucionarla con un apaciguador, es decir, se obtiene una función con los rasgos angulosos suavizados, pero sin dejar de permanecer cerca de la función (generalizada) original que no es suave.[2]​ A estas funciones también se las conoce como apaciguadores de Friedrichs en referencia a Kurt Otto Friedrichs, el matemático que las ideó.136–139), que se considera un hito en la teoría moderna de las ecuaciones en derivadas parciales.[4]​ El nombre de este objeto matemático tuvo una génesis curiosa, y Peter Lax cuenta toda la historia en su comentario sobre ese artículo publicado en la "Selecta" de Friedrichs.[5]​ Según él, en aquella época, el matemático Donald Alexander Flanders era colega de Friedrichs: como le gustaba consultar a sus colegas sobre el uso del inglés, le pidió consejo a Flanders sobre cómo nombrar el operador de suavizado que estaba utilizando.[4]​ Flanders era un puritano, apodado por sus amigos Moll en honor a Moll Flanders en reconocimiento a sus cualidades morales: sugirió llamar al nuevo concepto matemático "apaciguador" como un juego de palabras que incorpora tanto el apodo de Flanders como el verbo to mollify, que significa 'suavizar' en sentido figurado.[6]​ Anteriormente, Serguéi Sóbolev usó apaciguadores en su artículo de época de 1938,[7]​ que contiene la prueba del teorema de embebido de Sobolev: el propio Friedrichs reconoció el trabajo de Sobolev sobre los apaciguadores, afirmando que: - "Estos apaciguadores fueron introducidos por Sobolev y el autor..." .[8]​ Cabe señalar que el término apaciguador ha experimentado una deriva lingüística desde la época de estos trabajos fundacionales: Friedrichs definió como "apaciguador" al operador integral cuyo núcleo es una de las funciones hoy llamadas apaciguadores.Sin embargo, dado que las propiedades de un operador integral lineal están completamente determinadas por su núcleo, el núcleo mismo heredó el nombre de apaciguador como resultado de su uso común.es una función suave en ℝn, n ≥ 1, que satisface los siguientes tres requisitos dondeCuando la teoría de distribuciones todavía no era ampliamente conocida ni utilizada, la propiedad[11]​ anterior de (3) se formuló diciendo que la convolución de la funcióncon una función dada perteneciente a un espacio de Hilbert propio o a un espacio de Banach converge como ε → 0 a esa función:[12]​ esto es exactamente lo que hizo Friedrichs.[13]​ Del mismo modo, esta circunstancia también aclara por qué los apaciguadores están relacionados con las identidades aproximadas.Como se señaló brevemente en la sección de "Notas históricas" de esta entrada, originalmente, el término "apaciguador" identificaba el siguiente operador de convolución:[14]​[15]​ dondees una función suave que satisface las tres primeras condiciones indicadas anteriormente y una o más condiciones suplementarias, como positividad y simetría.Esta función es Infinitamente diferenciable, pero no analítica, y su derivada se anula para |x| = 1.puede utilizarse como apaciguador tal como se describe anteriormente: se puede ver quedefine un apaciguador positivo y simétrico.[16]​ Todas las propiedades de un apaciguador están relacionadas con su comportamiento bajo la operación de convolución: se enumeran las siguientes, cuyas demostraciones se pueden encontrar en distintos textos sobre teoría de distribuciones., la siguiente familia de convoluciones indexadas por números realesdenota una convolución, es una familia de funciones suaves., la siguiente familia de convoluciones indexadas por números realesLa aplicación básica de los apaciguadores es demostrar que las propiedades válidas para las funciones suaves también lo son para casos en los que no se verifica esta propiedad: En algunas teorías de funciones generalizadas, se utilizan apaciguadores para definir la multiplicación de distribuciones: precisamente, dadas dos distribuciones, el límite del producto de una función suave y una distribución define (si existe) su producto en varias funciones generalizadas.El artículo (Friedrichs, 1944) ilustra bastante bien este concepto.Sin embargo, la gran cantidad de detalles técnicos necesarios para mostrar lo que esto realmente significa impiden que se detallen formalmente en esta breve descripción.), se obtiene la función que es un suave e igual aEsto se puede ver fácilmente observando que si, Se ve cómo esta construcción se puede generalizar para obtener una función suave idéntica a uno en un entorno de un conjunto compacto dado, e igual a cero en cada punto cuya distancia a este conjunto sea mayor que un