Teorema de Paley–Wiener
El teorema se nombra para Raymond Paley (1907–1933) y Norbert Wiener (1894–1964).Los teoremas originales no utilizaban el lenguaje de las distribuciones y, en cambio, se aplicaban a funciones cuadradas integrables.El primer teorema de este tipo que usa distribuciones se debió a Laurent Schwartz.Formalmente, la idea es tomar la integral que define la transformada de Fourier (inversa).y permitir que ζ sea un número complejo en el semiplano superior.Entonces se puede esperar diferenciar bajo la integral para verificar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se mantienen, y por lo tanto, que f define una función analítica.Sin embargo, esta integral puede no estar bien definida, incluso para F en L2(R); (de hecho, como ζ está en la mitad superior del plano, el módulo de eixζ crece exponencialmente como) por lo tanto la diferenciación bajo el signo integral está fuera de discusión.es una función completa de tipo exponencial A, lo que significa que hay una constante C tal que y además, f es integrable por cuadrados sobre líneas horizontales: A la inversa, cualquier función completa de tipo exponencial A que sea integrable en forma cuadrada sobre líneas horizontales es la transformada de Fourier holomorfa de una función L2 admitida en [−A, A].Si v es una distribución de soporte compacto y f es una función infinitamente diferenciable, la expresión está bien definido.Se puede mostrar que la transformada de Fourier de v es una función (en oposición a una distribución general moderada) dada en el valor s pory que esta función puede extenderse a los valores de s en el espacio complejo Cn.entonces v es una función infinitamente diferenciable, y viceversa.Los resultados más agudos que dan un buen control sobre el soporte singular de v han sido formulados por Hörmander (1976).En particular,[4] sea K un conjunto compacto convexo en Rn con función de soporte H, definida por Entonces el soporte singular de v está contenido en K si y solo si hay una constante N y una secuencia de constantes Cm tal que para |Im(ζ)| ≤ mlog(|ζ|+1).