Función completa

Toda la función f (z) puede representarse como una serie de potencias.que converge en todas partes en el plano complejo, por lo tanto uniformemente en conjuntos compactos.Si (y solo si) los coeficientes de la serie de potencias son reales, la función toma valores reales para los argumentos reales y el valor de la función en el conjugado complejo de z será el conjugado complejo del valor en z. Dichas funciones a veces se llaman auto-conjugadas (la función conjugada,[1]​ Si se conoce la parte real de una función completa en un vecindario de un punto, entonces tanto la parte real como la imaginaria se conocen para todo el plano complejo, hasta una constante imaginaria.Por ejemplo, si la parte real se conoce en una vecindad de cero, entonces podemos encontrar los coeficientes para n> 0 a partir de las siguientes derivadas con respecto a una variable real r: (Del mismo modo, si la parte imaginaria se conoce en una vecindad, entonces la función se determina hasta una constante real).(Por ejemplo, si la parte real se conoce en parte del círculo unitario, entonces se conoce en la totalidad del círculo unitario por extensión analítica, y luego los coeficientes de la serie infinita se determinan a partir de los coeficientes de la serie de Fourier para la parte real en el círculo unitario.)Sin embargo, tenga en cuenta que una función completa no está determinada por su parte real en todas las curvas.En particular, si la parte real se da en cualquier curva en el plano complejo donde la parte real de alguna otra función completa es cero, entonces cualquier múltiplo de esa función se puede agregar a la función que estamos tratando de determinar.Si la curva forma un bucle, entonces está determinada por la parte real de la función en el bucle, ya que las únicas funciones cuya parte real es cero en la curva son aquellas que son iguales a cualquier número imaginario en todas partes.El teorema de factorización de Weierstrass afirma que cualquier función completa puede ser representada por un producto que involucre sus ceros (o "raíces").El teorema de Liouville establece que cualquier función completa acotada debe ser constante.Como consecuencia del teorema de Liouville, cualquier función que sea completa en toda la esfera de Riemann (plano complejo y el punto en el infinito) es constante.Por lo tanto, cualquier función completa no constante debe tener una singularidad en el punto complejo en el infinito, ya sea un polo para un polinomio o una singularidad esencial para una función completa trascendental.tal que El pequeño teorema de Picard es un resultado mucho más sólido: cualquier función completa no constante toma cada número complejo como valor, posiblemente con una sola excepción.Cuando existe una excepción, se le llama valor lacunario de la función.De manera similar, una función completa y no constante que no alcanza un valor en particular afectará a cada otro valor un número infinito de veces.Tal función f se puede encontrar fácilmente de la forma: para una constante c y una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos nk.Cualquier secuencia de este tipo define una función completa f (z), y si las potencias se eligen adecuadamente, podemos satisfacer la desigualdad f (x)> g (|x|) para toda la x real.(Por ejemplo, ciertamente se mantiene si uno elige c: = g (2) y, para cualquier enterose define utilizando el límite superior como: donde Br es el disco de radio r ymuestra que esto no significa f (z) = O (exp (|z|m)) siSi entonces el orden y el tipo se pueden encontrar por las fórmulas Deje queOtros ejemplos son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes polinomiales.Si el coeficiente en la derivada más alta es constante, entonces todas las soluciones de tales ecuaciones son funciones completas.La clase de funciones completas está cerrada con respecto a las composiciones.Esto permite estudiar dinámicas de funciones completas.Si una secuencia de polinomios, cuyas raíces son reales, converge en una vecindad del origen hasta un límite que no es idénticamente igual a cero, entonces este límite es una función completa.Estas funciones completas forman la clase Laguerre – Pólya, que también se puede caracterizar en términos del producto de Hadamard, es decir, f pertenece a esta clase si y solo si en la representación de Hadamard todo zn es real, p ≤ 1 y P(z) = a + bz + cz2, donde b y c son reales, y c ≤ 0.Los polinomios tiene todas las raíces reales, y converge a cos (z).Los polinomios también converge a cos (z), que muestra la acumulación del producto Hadamard para el coseno.