Teorema de Euler sobre funciones homogéneas

El teorema de Euler sobre funciones homogéneas es una caracterización de las funciones homogéneas.

f = f ( x , y , z )

{\displaystyle f=f(x,y,z)\,}

se dice función homogénea de grado k si para cualquier valor arbitrario

f ( λ x , λ y , λ z ) =

f ( x , y , z )

{\displaystyle f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z)\,}

{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}

diferenciando la ecuación con respecto a

encontramos, aplicando la regla de la cadena, que Así que: En concreto, eligiendo

, la anterior ecuación puede reescribirse como: lo cual prueba el resultado.

Para una demostración del recíproco, ver [1].

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler.

y diferenciado la ecuación

f ( α

{\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}

con respecto a

, encontramos por la regla de la cadena que:

f ( α

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(\alpha x_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(x_{i})}

Y por tanto:

f ( α

{\displaystyle \alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}

Y finalmente:

f ( α

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}

Si la función de estado termodinámica es: