Para resaltar el hecho de que un espacio euclídeo puede poseer n dimensiones, se suele hablar de "espacio euclídeo n-dimensional" (denotadoSu trabajo fue recogido por el matemático griego antiguo Euclides en sus Elementos,[2] con la gran innovación de probar todas las propiedades del espacio como teoremas, partiendo de unas pocas propiedades fundamentales, llamadas postulados, que o bien se consideraban evidentes (por ejemplo, hay exactamente una línea recta que pasa por dos puntos), o bien parecían imposibles de demostrar (postulado de las paralelas).| Tras la introducción a finales del siglo XIX de las geometrías no euclídeas, los antiguos postulados se formalizaron de nuevo para definir los espacios euclidianos mediante la teoría axiomática.Se ha demostrado que otra definición de los espacios euclidianos mediante espacio vectorial y álgebra lineal es equivalente a la definición axiomática.[3] En todas las definiciones, los espacios euclidianos están formados por puntos, que se definen sólo por las propiedades que deben tener para formar un espacio euclidiano.Su gran innovación, que aparece en Elementos de Euclides fue construir y probar toda la geometría partiendo de unas pocas propiedades muy básicas, que se abstraen del mundo físico, y no pueden demostrarse matemáticamente por falta de herramientas más básicas.Estas propiedades se denominan postulados o axiomas en lenguaje moderno.En 1637, René Descartes introdujo las coordenadas cartesianas y demostró que esto permite reducir los problemas geométricos a cálculos algebraicos con números.La geometría euclidiana no se aplicó en espacios de dimensión superior a tres hasta el siglo XIX.Es esta definición algebraica la que ahora se utiliza más a menudo para introducir los espacios euclidianos.Por ejemplo, hay dos operaciones fundamentales (denominadas movimientos) en el plano.Una es translación, que significa un desplazamiento del plano de modo que cada punto se desplaza en la misma dirección y a la misma distancia.Uno de los principios básicos de la geometría euclidiana es que dos figuras (normalmente consideradas como subconjuntos) del plano deben considerarse equivalentes (congruente) si una puede transformarse en la otra mediante una secuencia de traslaciones, rotaciones y reflexións (véase a continuación).Para que todo esto sea matemáticamente preciso, la teoría debe definir claramente qué es un espacio euclídeo y las nociones relacionadas de distancia, ángulo, traslación y rotación.Una definición puramente matemática del espacio euclidiano también ignora las cuestiones de unidades de longitud y otras dimensiones físicas: la distancia en un espacio "matemático" es un número, no algo expresado en pulgadas o metros.El producto interior permite definir distancia y ángulos.Otra razón es que no hay origen ni base en el mundo físico.También se llaman traslaciones, aunque, propiamente hablando, una traslación es la transformación geométrica resultante de la acción de un vector euclídeo sobre el espacio euclídeo.El hecho de que la acción sea libre y transitiva significa que para cada par de puntos (P, Q) existe exactamente un vector de desplazamiento v tal que P + v = Q.Las propiedades resultantes del producto interior se explican en Estructura métrica y sus subsecciones.Un espacio euclídeo de dimensión finita es un espacio vectorial normado sobre los números reales de dimensión finita, en que la norma es la asociada al producto escalar ordinario.es un número real, junto con la función distancia entre dos puntos (x1, ..., xn) e (y1, ..., yn) definida por la fórmula:Los espacios euclidianos y sus propiedades han servido de base para generar gran cantidad de conceptos matemáticos relacionados con la geometría analítica, la topología, el álgebra y el cálculo.Para n ≠ 4, cualquier n-variedad diferenciable que sea homeomorfa aEl hecho sorprendente es que esto no es cierto también para n = 4, lo que fue probado por Simon Donaldson en el año 1982; los contraejemplos se llaman 4-espacios exóticos (o falsos).es en sí mismo una variedad diferenciable, en cada punto se puede definir su espacio tangente (que es un espacio vectorial de dimensión n), y puede aprovecharse la estructura euclídea para definir una métrica sobre el fibrado tangente del espacio euclídeo, lo cual le da la estructura de variedad de Riemann, eso permite definir áreas, volúmenes y n-volúmenes para subconjuntos diferenciables de dicho espacio., un resultado intuitivamente trivial que sin embargo no es fácil de demostrar.El producto escalar, de x = (x1,...,xn) e y = (y1,...,yn) está dado por:Sin embargo, es posible concebir estructuras de dimensión infinita que tengan propiedades análogas a los espacios euclídeos, por lo que la extensión a dimensión infinita de la noción de espacio euclídeo es posible con unas pocas precauciones.No representan vectores cuya suma de componentes al cuadrado sea un número real finito.
Un punto en el espacio euclídeo tridimensional puede ser ubicado por medio de tres coordenadas.
