es una estructura de variedad diferenciable que es homeomorfa, pero no difeomorfa al espacio euclídeo
Los primeros ejemplos fueron encontrados en 1982 por Michael Freedman y otros, al utilizar el contraste entre los teoremas de Freedman sobre las 4-variedades topológicas, y los teoremas de Simon Donaldson sobre 4-variedades suaves.
[1][2] Existe un continuo de estructuras diferencibles no difeomorfas a
[3] Antes de esta construcción, ya se sabía que existían estructuras diferenciables no difeomorfas sobre n-esferas, esferas exóticas, aunque la cuestión de la existencia de tales estructuras para el caso particular de la 4-esfera seguía siendo un problema abierto (y sigue siendolo en la actualidad).
Para cualquier número entero positivo n que no sea 4, no existen estructuras diferenciables exóticas en
en otras palabras, si n ≠ 4, entonces cualquier variedad diferenciable homeomorfa a
exótico se llama pequeño si se puede incrustar suavemente como un subconjunto abierto de la estructura ordinaria de
exótico se llama grande si no puede ser encajado de manera suave como un subconjunto abierto del
exóticos grandes utilizando el hecho de que los 4manifolds compactos a menudo pueden dividirse como una suma topológica (por el trabajo de Freedman), pero no pueden dividirse como una suma suave (por el trabajo de Donaldson).
jdg/1214440258 «Un alisamiento universal del espacio de cuatro».
exótico máximo en el que todos los demás
Los asideros de Casson son homeomorfos a
es el disco unitario cerrado) pero se deduce del teorema de Donaldson que no todos son difeomorfos a
En otras palabras, algunos asideros de Casson son exóticos
No se sabe (a fecha de 2022) si existen o no 4 esferas exóticas; una 4 esfera exótica de este tipo sería un contraejemplo a la conjetura de Poincaré generalizada suave en dimensión 4.
Algunos candidatos plausibles vienen dados por Gluck twists.