Compactificación de Alexándrov
un espacio topológico localmente compacto y de Hausdorff.
la topología que tenía este originalmente al considerarlo como subespacio de
Un primer ejemplo que nos podríamos plantear sería compactificar el conjunto
Una manera de compactificarlo sería añadirle los dos puntos extremos, es decir, tomar
Sin embargo, podríamos haberlo hecho de otra forma: tomando
Es decir, hemos compactificado con un solo punto una deformación del espacio
Podemos intuir (aunque se podría demostrar) que esta compactificación con un solo punto del espacio deformado induce, de hecho, una del espacio original.
Observemos que para espacios más complicados podría haber todavía más compactificaciones posibles (añadiendo distintas cantidades de puntos).
Lo que nos preguntamos es si es siempre posible hacerlo con un único punto.
En esta sección se justifica informalmente la definición de la topología en
Sin embargo, aún no hemos definido ningún abierto que pase por el punto añadido,
Vamos a ver cómo analizando un caso concreto: la compactificación de
(esto se demostrará en el apartado de relación con homeomorfismos).
Entonces, nos podemos hacer una idea de cómo son los abiertos que pasen por infinito viendo cómo son los abiertos de
Si tomamos un abierto que pase por el polo norte y lo proyectamos estereográficamente en
que pase por infinito debe ser el complementario de un compacto.
es un espacio topológico localmente compacto y de Hausdorff.
Observamos que los abiertos de la compactificación son de dos tipos bien diferenciados: los que no contienen el punto de infinito, que se caracterizan por ser abiertos ya en el espacio original
, por lo que la unión vuelve a ser un abierto del primer tipo de la compactificación.
Su intersercción es por tanto también cerrada y está contenida en
sí que es compacto, existe un subrecubrimiento finito:
(y por tanto abiertos (del primer tipo) de
Si alguno de los dos puntos es infinito, podemos suponer que
El abierto que contiene al punto del infinito tiene que ser del segundo tipo, es decir, de la forma
Es decir, vamos a demostrar que si tenemos dos compactificaciones de Alexándrov en el sentido de que cumplen las hipótesis que le pedimos a esta (aunque no estén construidas según la definición):
Es claramente una biyección y va de un compacto a un Hausdorff, por lo que basta ver que es continua para demostrar que es un homeomorfismo, y esto es sencillo de ver distinguiendo las antiimágenes de abiertos del primer y del segundo tipo (similar a la desmotración del lema del apartado de unicidad de la compactificación)
Este resultado, junto con el lema del apartado de unicidad, nos permite demostrar lo que afirmábamos al principio del artículo: que la circunferencia
Observemos que el método anterior se puede generalizar para encontrar espacios homeomorfos a la compactificación de Alexándrov de un espacio
Nótese que el resto del argumento anterior es general.
La demostración de las siguientes afirmaciones consiste siempre en construir un homeomorfismo entre el espacio a compactificar y el espacio compactificado menos un punto, igual que en el ejemplo de
