En concreto, el teorema toma un conjunto de funciones reales continuas en un intervalo cerrado y acotado y da condiciones necesarias y suficientes para que tengan una subsucesión uniformemente convergente.
Así, la adherencia de un conjunto con esas condiciones será compacta.
La noción de equicontinuidad fue introducida a finales del siglo XIX por los matemáticos italianos Cesare Arzelà y Giulio Ascoli, de quienes recibe el nombre el teorema.
Una versión débil del teorema fue demostrada por Ascoli (1883–1884), que dio la condición suficiente para la compacidad, y Arzelà (1895), que demostró la condición necesaria y a quien se debe la primera presentación clara del resultado.
Fréchet (1906) demostró una generalización del teorema a funciones reales continuas con dominio compacto métrico (Dunford y Schwartz, 1958, p. 382).
Formulaciones más modernas del teorema permiten que el dominio sea compacto Hausdorff y que el espacio de llegada sea sólo métrico.
A continuación se definen las propiedades de un conjunto de funciones continuas sobre un intervalo cerrado y acotado que juegan un papel en el enunciado y la demostración del teorema.
es puntualmente acotado si, fijando cualquier punto del intervalo, las funciones de
toman en ese punto un conjunto acotado de valores:
Es decir, en cada punto hay una cota para los valores que toman las funciones.
Ahora definimos la condición clave del teorema: la equicontinuidad.
Aquí usaremos la primera definición, pero podremos usar ambas condiciones indistintamente, ya que en caso de que
sea compacto (cerrado y acotado) ambas definiciones son equivalentes,[1] y en el teorema a demostrar siempre se consideran funciones definidas en intervalos de ese tipo.
La versión más sencilla del teorema se puede enunciar como sigue: Sea
Usando la numeración vamos a construir subsucesiones de la sucesión original como sigue: Para
Aunque no esté escrito explícitamente en la forma
son un funciones que ya estaban en la sucesión de
Por tanto, hemos construido una subsucesión de la sucesión original de funciones que ahora converge al evaluarla en
Como antes, esta sucesión tiene una parcial convergente que ahora denotaremos por
Querríamos poder afirmar que hemos construido una subsucesión de la original que converge al ser evaluada en cualquier racional de
Tomamos la sucesión de las funciones que aparecen en la diagonal:
Esta sucesión converge en todos los racionales del intervalo: tomemos un cierto
Para ello, veamos que es uniformemente de Cauchy.
(aquí estamos usando de hecho la equicontinuidad uniforme, pero podemos porque
son sucesiones convergentes, luego de Cauchy:
El teorema se puede generalizar a funciones continuas entre dos espacios topológicos generales.
En este caso, lo que dice el teorema es lo siguiente:[2] Sea
) será relativamente compacto en la topología de la métrica del infinito si y solamente si: Debe tenerse en cuenta que si
En este mismo caso, se cumple que si además
es un espacio topólogico conexo, basta verificar que existe un