Estos reciben su nombre en honor a Paul Montel, y dan condiciones bajo las cuales una familia de funciones holomorfas es normal.
Este resultado también ha sido llamado teorema de Stieltjes–Osgood, en honor a Thomas Joannes Stieltjes y William Fogg Osgood.
[1] La primera, y más sencilla, versión del teorema declara que una familia uniformemente acotada de funciones holomorfas definiedas en un subconjunto abierto de los números complejos es normal.
El siguiente corolario puede ser deducido a partir de este teorema, y resulta ser más fuerte que él.
es una familia de funciones meromorfas definidas sobre un conjunto abierto
La versión más fuerte del Teorema de Montel (ocasionalmente llamada Prueba Fundamental de Normalidad) declara que una familia de funciones holomorfas, todas las cuales omiten los mismos dos valores
Las condiciones del anterior teorema son suficientes, pero no necesarias para que una familia de funciones sea normal.
es normal, pero no omite ningún valor complejo.
omiten el mismo entorno del punto
obtenemos una familia uniformemente acotada, que resulta ser normal por la primera versión del teorema.
La segunda versión del teorema de Montel puede ser deducida del primer utilizando el hecho de que existe una cobertura universal holomorfa del disco unidad al plano dos veces pinchado
(tal cobertura está dada por la función modular elliptica).
Un principio heurístico conocido como el Principio de Bloch (hecho preciso por el lema de Zalcman) establece que aquellas propiedades que implican que una función entera sea constante se corresponden con las propiedades que aseguran que una familia de funciones holomorfas sea normal.
Por ejemplo, la primera versión del teorema de Montel antes mencionada es el análogo del teorema de Liouville, mientras que la segunda versión se corresponde con el teorema de Picard.