Teorema del grafo cerrado (análisis funcional)

En su forma más elemental, el teorema del grafo cerrado establece que una función lineal entre dos espacios de Banach es continuo si y solo si el grafo de dicha función es cerrado.El teorema del grafo cerrado tiene una amplia aplicación en todo el análisis funcional, porque puede controlar si un operador lineal parcialmente definido admite extensiones continuas.Por esta razón, se ha generalizado a muchas circunstancias más allá de la formulación elemental anterior.El teorema del grafo cerrado es el resultado de la aplicación linealEs común en el análisis funcional llamar a dichas aplicaciones "cerradas", pero esto no debe confundirse con la noción no equivalente de una "aplicación cerrada" que aparece en la topología general.Funciones parciales Es común en el análisis funcional considerar funciones parciales, que son aquellas definidas en un subconjunto denso de algún espacio) al dominio de una función parcial, en cuyo caso se puede usar la notaciónUn operador lineal densamente definido entre espacios vectoriales es una función parcialUn ejemplo prototípico de una función parcial es el operador derivada, que solo se define en el espacioes (como antes) el conjunto Sin embargo, una excepción a este principio es la definición de "grafo cerrado".cuya grafo es igual al cierre del conjuntoes un operador lineal que se puede cerrar entonces un núcleo o un dominio esencial dees una función, entonces se dice que tiene un grafo cerrado si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: y sies un espacio compacto de Hausdorff, entonces se puede agregar a esta lista que: y si tantoson espacios que cumplen el primer axioma de numerabilidad, entonces se puede agregar a esta lista: Función con un grafo secuencialmente cerrado Sies una función, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes: Supóngase quees un operador lineal definido en todas partes entre espacios de Banach, entonces lo siguiente es equivalente: Se requiere que el operador esté definido en todas partes, es decir, el domainsean espacios de Banach, y se pueden construir aplicaciones lineales que tengan inversas ilimitadas en este entorno, por ejemplo, usando funciones continuas con soporte compacto o usando secuencias con un número finito de términos distintos de cero junto con la norma del supremo.El teorema del grafo cerrado se puede generalizar desde espacios de Banach a espacios vectoriales topológicos más abstractos de las siguientes maneras.TeoremaUna aplicación lineal entre dos espacios F es continua si y solo si su grafo es cerrado.Un espacio pseudométrico es metrizable si y solo si es de Hausdorff.Teorema del grafo cerrado[10]​Además, una aplicación lineal cerrada desde un espacio ultrabarrilado localmente convexo sobre un [[Espacio vectorial topológico metrizable] EVT pseudometrizable]] completo es continua.Teorema del grafo cerradoUna aplicación lineal cerrada y acotada desde un espacio infrabarrilado localmente convexo sobre un espacio localmente convexo completo pseudometrizable es continua.son dos espacios vectoriales topológicos (no necesitan ser de Hausdorff o localmente convexos) con la siguiente propiedad: Bajo esta condición, siEl teorema del grafo de Borel, demostrado por L. Schwartz, permite afirmar que el teorema del grafo cerrado es válido para aplicaciones lineales definidas y valoradas en la mayoría de los espacios encontrados en el análisis.una aplicación lineal entre dos espacios localmente convexos de Hausdorff,[13]​ Una mejora de este teorema, demostrada por A. Martineau, utiliza espacios K-analíticos.se llama K-analítico si es la imagen continua de un espacioEl teorema generalizado del grafo de Borel establece que: Teorema del grafo de Borel generalizado[14]​Seauna aplicación lineal entre dos espacios de Hausdorff localmente convexos,