En matemáticas, y más específicamente en teoría de operadores, un operador densamente definido[1] o un operador parcialmente definido es un tipo de función parcialmente definido.
Desde el punto de vista topológico, es una aplicación lineal que se define "casi en todas partes".
Los operadores densamente definidos a menudo surgen en análisis funcional como operaciones que se desea aplicar a una clase de objetos mayor que aquellos para los cuales "a priori" "tienen sentido".
Un operador lineal densamente definido
de un espacio vectorial topológico,
a otro espacio vectorial
es un operador lineal que se define en un subespacio lineal denso
y toma valores en
A veces, esto se escriba como
cuando el contexto deja claro que
podría no ser el dominio teórico de
de todas las funciones continuas de valores reales, definidas en el intervalo unitario; y sea
el subespacio que consta de todas las funciones continuamente diferenciables.
con el norma del supremo
, esto convierte a
en un espacio de Banach real.
es un operador densamente definido desde
hacia sí mismo, definido en el subespacio denso
es un ejemplo de operador lineal no acotado, ya que Esta ilimitación causa problemas si se desea de alguna manera extender continuamente el operador de diferenciación
La integral de Paley-Wiener, por otro lado, es un ejemplo de función continua de un operador densamente definido.
En cualquier espacio de Wiener abstracto
existe un operador lineal continuo natural (de hecho, es la inclusión, y es una isometría) de
{\displaystyle j(f)\in j\left(E^{*}\right)\subseteq H}
va a la clase de equivalencia
Se puede demostrar que
Dado que la inclusión anterior es continua, existe una extensión lineal continua única
{\displaystyle I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}
de la inclusión
a la totalidad de
Esta extensión es la aplicación de Paley-Wiener.