El producto tensorial permite recopilar espacios de Hilbert en una categoría monoidal simétrica.
Que este producto interno sea el natural se justifica por la identificación de aplicaciones bilineales con valores escalares en
y funcionales lineales en su producto tensorial en el espacio vectorial.
Finalmente, tómese la completación bajo este producto interno.
El producto tensorial también se puede definir sin recurrir a la completación del espacio métrico.
son dos espacios de Hilbert, se asocia a cada tensor simple producto
dado como Esto se extiende a una identificación lineal entre
Bajo la identificación anterior, se puede definir el producto tensorial hilbertiano de
que es isométrica y linealmente isomorfo a
se caracteriza por la siguiente propiedad universal (Kadison y Ringrose, 1997, Theorem 2.6.4): TeoremaExiste una aplicación débil de Hilbert-Schmidt
tal que, dada cualquier aplicación débil de Hilbert-Schmidt
se define como una aplicación bilineal para la que existe un número real
Como ocurre con cualquier propiedad universal, esto caracteriza al producto tensorial H de forma única, hasta el isomorfismo.
Es esencialmente la misma propiedad universal compartida por todas las definiciones de productos tensoriales, independientemente de los espacios que se tensorizan: esto implica que cualquier espacio con un producto tensorial es una categoría monoidal simétrica, y los espacios de Hilbert son un ejemplo particular de ello.
Históricamente se han propuesto dos definiciones diferentes para el producto tensorial de una colección
La definición tradicional de Von Neumann simplemente toma el producto tensorial "obvio": para calcular
, primero se deben recopilar todos los tensores simples de la forma
Esta definición casi nunca es separable, en parte porque, en sus aplicaciones físicas, "la mayor parte" del espacio describe estados imposibles.
Los autores modernos suelen utilizar en su lugar una definición debida a Guichardet: para calcular
[3] Ésta es una ventaja del método "algebraico" en la mecánica estadística cuántica.
Los siguientes ejemplos muestran cómo surgen naturalmente los productos tensoriales.
que son integrables al cuadrado con respecto a la medida del producto
La definición de la medida del producto asegura que todas las funciones de esta forma sean integrables al cuadrado, por lo que esto define un operador bilineal
y también explica por qué se necesita completar la construcción del producto tensorial espacial de Hilbert.
De manera similar, se puede demostrar que
, que denota el espacio de funciones cuadradas integrables,
Se puede combinar esto con el ejemplo anterior y concluir que
Si alguna partícula se describe mediante el espacio de Hilbert
y otra partícula se describe mediante
Por ejemplo, el espacio de estados de un oscilador armónico cuántico es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle L^2(\R),} por lo que el espacio de estados de dos osciladores es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle L^2(\R) \otimes L^2(\R),} que es isomorfo a