Producto de Kronecker

En matemáticas, se llama producto de Kronecker, denotado con, a una operación sobre dos matrices de tamaño arbitrario que da como resultado una matriz bloque.El producto de Kronecker no debería confundirse con el producto de matrices habitual, que es una operación totalmente diferente.Debe su nombre al matemático alemán Leopold Kronecker.Más explícitamente, tenemos El producto de Kronecker es un caso especial del producto tensorial, así que es bilineal y asociativo donde A, B y C son matrices y k es un escalar.El producto de Kronecker no es conmutativo: en general, AA son equivalentes en permutación, lo que quiere decir que existen matrices permutación P y Q tales que Si A y B son matrices cuadradas, entonces ASi A, B, C y D son matrices de manera que se puedan formar los productos AC y BD, entonces A esto se llama la propiedad del producto mixto, porque mezcla el producto ordinario de matrices y el de Kronecker.B son Se deduce que la traza y el determinante de un producto de Kronecker vienen dados por Si A y B son matrices rectangulares, entonces se pueden considerar sus valores singulares.Supongamos que A tiene rA valores singulares no nulos De forma similar, denotamos los valores singulares no nulos de B con Entonces el producto de Kronecker AB representa el producto tensorial de las dos aplicaciones, V1Consideremos por un momento la ecuación AXB = C, donde A, B y C son matrices dadas y X es la incógnita.Podemos reescribir esta ecuación como Se sigue entonces de las propiedades del producto de Kronecker que la ecuación AXB = C tiene solución única si y sólo si A y B son inversibles.Aquí, vecX señala el vector formado por los elementos de la matriz X.'n', entonces El producto de Kronecker debe su nombre a Leopold Kronecker, incluso habiendo poca evidencia de que fuera el primero en definirlo y usarlo.