[4] En tal ecuación diferencial, y denota la variable dependiente, el superíndice (n) denota la n-ésima derivada, y an, an − 1, ..., a1, a0 son constantes: y tendrá una ecuación característica de la forma cuyas soluciones r1, r2, ..., rn son las raíces a partir de las cuales se puede formar la solución general.
[4][6] Por ejemplo, si se encuentra que r es igual a 3, entonces la solución general será y(x) = ce3x, donde c es una constante arbitraria.
Si una ecuación característica tiene partes con raíces reales distintas, h raíces repetidas o k raíces complejas correspondientes a soluciones generales de yD(x), yR1(x), ..., yRh(x) e yC1(x), ..., yCk(x), respectivamente, entonces la solución general a la ecuación diferencial es La ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes tiene la ecuación característica Al factorizar la ecuación característica en se puede ver que las soluciones para r son la raíz única distinta r1 = 3 y las raíces complejas dobles r2,3,4,5 = −1 ± i.
[4][7] Por lo tanto, si la ecuación característica tiene raíces reales distintas r1, ..., rn, entonces una solución general será de la forma Si la ecuación característica tiene una raíz r1 que se repite k veces, entonces está claro que yp(x) = c1er1x es al menos una solución.
Por ejemplo, si c1 = c2 = 1/2 entonces se forma la solución particular y1(x) = eax cos bx.
Del mismo modo, si c1 = 1/2i y c2 = −1/2i entonces la solución independiente formada es y2(x) = eax sin bx.