En matemáticas, se denomina secuencia lineal recurrente de orden p a cualquier sucesión con valores en un campo conmutativo K (por ejemplo ℝ o ℂ; solo se considerará el primer caso en este artículo) definidos para todo
son p escalares fijos de K (con
Tal secuencia está completamente determinada por los datos de sus primeros términos p y por la relación de recurrencia.
Las secuencias recurrentes lineales de orden 1 son las progresiones geométricas.
La expresión del término general de dicha secuencia es posible siempre que se pueda factorizar un polinomio asociado con él, denominado polinomio característico; el polinomio característico asociado con una secuencia que verifica la relación de recurrencia anterior es: Su grado es, por lo tanto, igual al orden de la relación de recurrencia.
En consecuencia, el término general de secuencias lineales recurrentes de orden 2 puede expresarse utilizando solo los dos primeros términos, algunos valores constantes, algunas operaciones elementales de aritmética (suma, resta, multiplicación, exponencial) y el seno y coseno (si el cuerpo escalar es el cuerpo real).
Las secuencias recurrentes lineales de orden 1 son las progresiones geométricas.
Si a y b son dos escalares fijos de K, con b distinto de cero, la relación de recurrencia es Los escalares r tales que la secuencia
se verifican en (R) son las soluciones de la ecuación cuadrática
entonces se llama el polinomio característico de la secuencia.
Luego se deberán distinguir varios casos, dependiendo del número de raíces del polinomio característico.
parámetros sobre K multiplicando los dos primeros valores de la secuencia.
No se pierde nada de la generalidad de la secuencia suponiendo que se define en todos ℕ y no solo en
se reduce a la de la secuencia v definida en ℕ por
Si una secuencia u verifica que entonces puede extenderse a índices negativos y vincularse a las potencias de la matriz (invertible dado que b ≠ 0) por:
Esto permite mostrar que para v igual a u o cualquier otra secuencia que satisfaga la misma relación de recurrencia (R) y para todos los enteros i, j, k, l r:[1] En particular: Si se denomina
la relación de recurrencia: y si se denomina
Entonces es suficiente conocer una familia libre de p secuencias que verifiquen
La búsqueda del término general y secuencias específicas se lleva a cabo trabajando en
(A es la matriz compañera del polinomio característico de la secuencia).
El término general de la secuencia U se determina entonces por[2] El problema parece haber terminado.
El polinomio característico de la matriz A es
No es casualidad que caracterice a las secuencias
Se denota por f a la transformación lineal que, en una secuencia
es por lo tanto el núcleo de P(f).
Si el polinomio P se divide en K (que siempre es cierto si K = ℂ), se escribe
Se puede demostrar que cualquier secuencia de términos generales
siempre y cuando el grado de Q sea estrictamente menor que
son, por lo tanto, sumas de secuencias cuyo término general es
con un grado de Q estrictamente menor que