En matemáticas, especialmente en teoría de números, las sucesiones de Lucas Un(P,Q) y Vn(P,Q) son ciertas sucesiones de enteros que satisfacen la relación de recurrencia Donde P y Q son enteros fijos.
Cualquier otra sucesión que satisfaga esta relación de recurrencia puede ser representada como combinación lineal de las sucesiones de Lucas Un(P,Q) y Vn(P,Q).
Entre ellas se encuentran las sucesiones de los números de Lucas, que se obtienen de igual manera que la sucesión de Fibonacci, y ambas están estrechamente relacionadas, con el cambio de que los primeros dos números no son 1, 1, sino 2, 1.
La sucesión de Lucas toma el nombre del matemático francés Édouard Lucas.
Los números de Lucas están dados por: Teniendo ciertas propiedades como: La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características.
Algunas propiedades interesantes incluyen: Teniendo en cuenta dos parámetros enteros P y Q, la sucesión de Lucas de la primera clase Un(P,Q) y de la segunda clase Vn(P,Q) Se definen por las relaciones de recurrencia: y No es difícil mostrar que para
, Los términos iniciales de la sucesión Un(P,Q) y Vn(P,Q) se dan en esta tabla: La ecuación característica de la relación de recurrencia para las sucesiones de Lucas
{\displaystyle U_{n}(P,Q)}
{\displaystyle V_{n}(P,Q)}
y las raíces: Por lo tanto: Cuando
, a y b son distintos y uno verifica rápidamente que De ello se desprende que los términos de secuencias de Lucas se pueden expresar en términos de a y b como El caso en que
para algunos enteros S de manera que
En este caso se puede encontrar fácilmente qu Si las sucesiones
{\displaystyle U_{n}(P,Q)}
{\displaystyle V_{n}(P,Q)}
Las secuencias de Lucas para algunos valores de P y Q tienen nombres específicos: