Número de Pell
Los primeros términos de la secuencia son: También pueden expresarse mediante una fórmula explícita: Para valores grandes de n, el término (1 +
)n domina esta expresión, por lo que los números de Pell son aproximadamente proporcionales a las potencias del número plateado 1 +
Si dos enteros grandes x e y forman una solución a la Ecuación de Pell: entonces su fracción "x/y" proporciona una aproximación cercana a
Es decir, las soluciones tienen la forma: La aproximación: de este tipo era conocida por los matemáticos indios en el siglo tercero o cuarto a. C.[3] Los matemáticos griegos del siglo V a. C. también conocían esta secuencia de aproximaciones:[4] Platón se refiere a los numeradores como diámetros racionales.
les permite ser usados para aproximaciones racionales precisas a un octógono regular con coordenadas de vértices: Todos los vértices están igualmente distantes del origen, y forman ángulos casi uniformes alrededor del mismo.
Alternativamente, los puntos forman octógonos aproximados en los que los vértices están casi igualmente alejados del origen y forman ángulos uniformes.
Los únicos números de Pell que son cuadrados, cubos o cualquier potencia superior de un número entero son 0, 1 y 169 = 132.
[7] Sin embargo, a pesar de tener tan pocos cuadrados u otras potencias, los números de Pell tienen una conexión cercana con los número cuadrados triangulares.
Si un triángulo rectángulo tiene longitudes de lado enteras a, b, c (satisfaciendo necesariamente el Teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2), entonces (a, b y c) se conocen como una terna pitagórica.
Como Martin (1875) describe, los números de Pell pueden usarse para formar tripletes pitagóricos en los que a y b están separados por una unidad, lo que corresponde a triángulos rectángulos que son casi isósceles.
Los primos de Pell-Lucas son: Para estos números, sus n son La siguiente tabla da las primeras potencias del número plateado δ = δS = 1 +
Un triplete pitagórico casi isósceles es una solución entera de a2 + b2 = c2, donde a + 1 = b.
La siguiente tabla muestra que dividir el número impar Hn en mitades casi iguales da un número triangular cuadrado cuando n es par y un triplete pitagórico casi isósceles cuando n es impar.
, es decir: lo mejor que se puede lograr es: Las soluciones (no negativas) de H2 − 2P2 = 1 son exactamente los pares (Hn, Pn) con n incluido, y las soluciones a H2 − 2P2 = −1 son exactamente los pares (Hn, Pn) con n impar.
Entonces debe notarse que cada solución positiva viene de esta manera de una solución con números enteros más pequeños, ya que: La solución más pequeña también tiene enteros positivos, con la única excepción de: H = P = 1, que viene de H0 = 1 y P0 = 0.
La ecuación requerida: es equivalente a: que se convierte en H2 = 2P2 + 1 con las sustituciones H=2t+1 y P=2s.
Puesto que se pueden conocer todas las soluciones de esa ecuación, también se tiene que: y que Esta expresión alternativa se expresa en la siguiente tabla: La igualdad c2 = a2 + (a + 1)2 = 2a2 + 2a + 1 ocurre exactamente cuando 2c2 = 4a2 + 4a + 2, que se convierte en 2P2 = H2 + 1 con las sustituciones H = 2a + 1 y P = c. Por lo tanto la n-ésima solución es an = H2n+1 − 1/2 y cn = P2n+1.
