Número cuadrado triangular
En matemáticas, un número cuadrado triangular (o número triangular cuadrado) es un número que es tanto un número triangular como un cuadrado perfecto.
Hay infinitos números triangulares cuadrados; los primeros son: Escribiendo Nk para el k-ésimo número cuadrado triangular, y sk y tk para los lados de los correspondientes cuadrado y triángulo, se tiene que: Se define la raíz triangular de un número triangular
para que sea
De esta definición y de la fórmula cuadrática, se tiene que
Por ejemplo, hay números
Esto es una consecuencia de la ecuación de Pell, con
Todas las ecuaciones de Pell tienen la solución trivial (1,0), para cualquier n; esta solución se llama cero-ésima, y es indexada como
denota la k-ésima solución no trivial a cualquier ecuación de Pell para un n particular, puede ser demostrado por el método de descenso que
Por lo tanto, existe una infinidad de soluciones a cualquier ecuación de Pell para la que hay una no trivial, cuando n no es un cuadrado.
La primera solución no trivial cuando n = 8 es fácil de encontrar: es (3,1).
a la ecuación de Pell para n = 8 produce un número triangular cuadrado y sus raíces cuadradas y triangulares como sigue: Por lo tanto, el primer número triangular cuadrado, derivado de (3,1), es 1, y el siguiente, derivado de (17,6) (= 6 × (3,1) - (1,0)), es 36.
Las secuencias Nk, sk y tk son las secuencias OEIS A001110, A001109 y A001108 respectivamente.
En 1778 Leonhard Euler determinó la fórmula explícita:[1][2]: 12–13 Otras fórmulas equivalentes (obtenidas mediante la ampliación de esta fórmula) que pueden ser convenientes incluyen: Las fórmulas explícitas correspondientes a sk y tk son[2]: 13 y El problema de encontrar números cuadrados triangulares se reduce a la ecuación de Pell de la siguiente manera.
[3] Cada número triangular es de la forma t (t + 1) / 2.
Por lo tanto, se buscan enteros t, s tales que: Con un poco de álgebra esto se convierte en: y dejando que x = 2t + 1 e y = 2 s, se obtiene la ecuación diofántica que es una forma de la Ecuación de Pell.
Esta ecuación particular es resuelta por los números de Pell Pk como[4] y por lo tanto todas las soluciones están dadas por: Hay muchas identidades sobre los números de Pell que se traducen en identidades sobre los números cuadrados triangulares.
Hay una relación de recurrencia para los números triangulares cuadrados, así como para los lados del cuadrado y del triángulo involucrados.
Se tiene que:[5]: (12) y se tiene también que:[1][2]: 13 Todos los números triangulares cuadrados tienen la forma b2c2, donde b / c es convergente para la fracción continua de la raíz cuadrada de dos.
[6] A. V. Sylwester dio una prueba breve de que hay una infinidad de números triangulares cuadrados, a saber:[7] Si el número triangular n (n + 1) / 2 es cuadrado, entonces también lo es el número triangular mayor: Se sabe que este resultado tiene que ser un cuadrado, porque es un producto de tres cuadrados: El producto de cualquier número que sea cuadrado naturalmente va a resultar otro cuadrado.
Esto puede verse por el hecho de que una condición necesaria y suficiente para que un número sea cuadrado es que solo debe haber potencias pares de primos en su factorización primaria y multiplicar dos números cuadrados conserva esta propiedad en el producto.
son alternativamente simultáneamente uno menos que un cuadrado y dos veces un cuadrado, si k es par; y simultáneamente un cuadrado y uno menos de dos veces un cuadrado, si k es impar.
Por lo tanto: En cada caso, las dos raíces cuadradas involucradas se multiplican para obtener En otras palabras, la diferencia entre dos números cuadrados triangulares consecutivos es la raíz cuadrada de otro número triangular cuadrado.
[cita requerida] La función generadora de los números triangulares cuadrados es:[8] A medida que
se hace más grande, la relación
se acerca a
y la relación de números triangulares cuadrados sucesivos se aproxima a
La tabla siguiente muestra valores de
entre 0 y 11, que comprenden todos los números triangulares cuadrados hasta
Weisstein, Eric W. «Square Triangular Number».
En Weisstein, Eric W, ed.
