La palabra proviene de tetra (cuatro) y ción (iteración).Para entender la tetración hay que entender la relación jerárquica que tienen la suma, la multiplicación y la exponenciación: las multiplicaciones pueden entenderse como sumar repetidas, la exponenciación como multiplicaciones repetidas y la tetración como exponenciaciones repetidas.Aquí se presentan ejemplos de los primeros cuatro operadores, con la tetración como el primer hiperoperador.La peculiaridad de la tetración entre estas operaciones es que para las tres primeras (adición, multiplicación y exponenciación) pueden ser generalizadas para valores complejo de n, mientras que para la tetración, tal generalización regular no ha sido todavía establecida; la tetración no es considerada una función elemental.) es también una operación primaria, aunque para los números naturales puede ser pensada como una adición encadenada que implica n números a, y la exponenciación () puede ser pensada como una multiplicación encadenada que implica n números a. Análogamente, la tetración () puede ser pensada como una potencia encadenada que implica n números a.El parámetro a puede ser llamado parámetro base en lo siguiente, mientras que el parámetro n puede llamarse en lo siguiente parámetro-altura (que es entero en primera aproximación, pero que puede ser generalizado a alturas fraccionales, reales y complejas, ver más abajo).como: Como se puede ver de la definición, al evaluar la tetración, esta es expresada como una "torre de exponentes", la potenciación se realiza en el nivel más alto primero para que esta sea irreducible.Dicho de otro modo:[1] Nótese que la potenciación no es asociativa, así que evaluar la expresión en otro orden proporcionará una respuesta diferente además de incorrecta: Se simplificaría a 2^(2^(4-1))=2^(2^3)=2^8=256, que es una doble exponencial.Por lo tanto, las torres exponenciales deben ser evaluadas de arriba abajo (o de derecha a izquierda), ya que la tetración es una función exponencial iterada.Debido a que la exponenciación no es conmutativa, las reglas del producto y de la potencia no tienen un análogo con la tetración; las afirmacionesEste hecho se ve más claramente usando una definición recursiva., lo que permite intercambiar b y c en ciertas ecuaciones.La demostración de este hecho va como sigue: Cuando un número x y 10 son coprimos, entonces es posible computar las últimas m cifras decimales deusando el teorema de Euler, para cualquier entero m. Esto es cierto también en otras bases: por ejemplo, las últimas m cifras octales de, tanto la base a como la altura n pueden generalizarse utilizando la definición y las propiedades de la tetración.Aunque la base y la altura pueden generalizarse más allá de los enteros no negativos a diferentes dominios, incluyendono están claramente definidas por la fórmula dada anteriormente.Por ejemplo, en nz con z = i, la tetrización se consigue utilizando la rama principal del logaritmo natural; utilizando la fórmula de Euler obtenemos la relación: Esto sugiere una definición recursiva para: Esto permite encontrar los siguientes valores aproximados: La tetración puede extenderse a las alturas infinitas; es decir, para ciertos valores de a y n enLa tendencia a 2 puede verse evaluando una pequeña torre finita: En general, la exponencial infinitamente iterada[4] El límite, si existe, es una solución real positiva de la ecuación 1=y = xy.Esto puede extenderse a los números complejos z con la definición: dondeComo el límite 1=y = ∞x (si existe en la recta real positiva, es decir para e-e ≤ x ≤ e1/e) debe satisfacer 1=xy = y vemos que 1=x ↦ y = ∞x es (la rama inferior de) la función inversa de 1=y ↦ x = y1/y.Podemos utilizar la regla recursiva de la tetración, para demostrar que: Sustituyendo -1 por k se obtiene Los valores negativos más pequeños no pueden ser bien definidos de esta manera.Sustituyendo -2 por k en la misma ecuación se obtiene que no está bien definida.es consistente con la regla porque En este momento no existe una solución comúnmente aceptada para el problema general de extender la tetración a los valores reales o complejos de n. Sin embargo, ha habido múltiples enfoques hacia la cuestión, y a continuación se esbozan diferentes enfoques.En general, el problema es encontrar - para cualquier real a > 0 - una función superexponencial
