En matemáticas, la sucesión de hiperoperaciones[nb 1] es una sucesión infinita de operaciones aritméticas (llamadas hiperoperaciones)[1][11][13] que se inicia con la operación binaria exponenciación (n = 3), siguiendo con las operaciones binarias de Tetración (n = 4), Pentación (n = 5), y Hexación (n = 6), después de lo cual la sucesión continúa con más operaciones binarias, que se extienden más allá de la potenciación, mediante la asociatividad por derecha.
Para las operaciones más allá de la potenciación, el n-ésimo miembro de esta sucesión es nombrado por Rubén Goodstein después del prefijo griego de n con el sufijo -ción (como tetración (n = 4), pentación (n = 5), hexación (n = 6), etc.)[5] y puede ser escrito mediante el uso de n − 2 flechas en la notación flecha de Knuth.
, que se define recursivamente como sigue: (Tenga en cuenta que para n = 0, la operación binaria esencialmente se reduce a una única operación (función sucesor) ignorando el primer argumento.)
Para n = 0, 1, 2, 3, esta definición reproduce las operaciones básicas de la aritmética del sucesor (que es una única operación), adición, multiplicación y potenciación, respectivamente, como Entonces, ¿cuál será la siguiente operación después de la potenciación?
Las H operaciones para n ≥ 3 pueden ser escritas en la la notación flecha de Knuth como: La notación de Knuth puede ser extendida a los índices negativos ≥ -2 de modo tal que esté de acuerdo con toda la sucesión de hiperoperaciones, excepto por el retraso en la indización: Las hiperoperaciones por lo tanto puede ser vistas como una respuesta a la pregunta «¿qué es lo siguiente?» en la sucesión: sucesor, adición, multiplicación, potenciación, y así sucesivamente.
Tomando nota de que: la relación entre las operaciones aritméticas básicas se ilustra, permitiendo que la mayor de las operaciones sean definidas de forma natural, como se muestra anteriormente.
Los parámetros de la jerarquía de hiperoperaciones se refieren a veces por el análogo de la potenciación;[14] así, a es la base, b es el exponente (o hiperexponente),[12] y n es el rango (o grado).
[6] En términos coloquiales, las hiperoperaciones son maneras de componer números que aumentan en un crecimiento basado en la repetición de la anterior hiperoperación.
Los conceptos de sucesor, adición, multiplicación y potenciación son todos hiperoperaciones; el sucesor de operación (producción de x+1 en x) es el más primitivo, el operador especifica el número de veces que 1 se añade a sí mismo para producir un valor final, la multiplicación especifica el número de veces que un número se añade a sí mismo, y la exponenciación se refiere al número de veces que un número se multiplica por sí mismo.
Esta es una lista de las primeras siete (0 a 6) hiperoperaciones.
Unos 12 años más tarde, Wilhelm Ackermann definió la función
En su artículo publicado en el año 1947,[5] R. L. Goodstein introdujo la sucesión específica de las operaciones que ahora se llaman hiperoperaciones, y sugiere también los nombres griegos de tetración, pentación, etc., para la ampliación de las operaciones más allá de potenciación (ya que se corresponden con los índices 4, 5, etc.).
— que es recursiva , pero no primitiva recursiva — fue modificada por Goodstein para incorporar la primitiva función sucesor , junto con las otras tres operaciones básicas de la aritmética (adición, multiplicación, potenciación), y para hacer más fluida la extensión de estos más allá de potenciación.
[7][17][18] La importancia de la b + 1 en la expresión anterior es que
, y así sucesivamente para el más alto nivel de las operaciones.
(Ver el artículo función de Ackermann para obtener más detalles.)
Esta es una lista de notaciones que se han utilizado para las hiperoperaciones.
Algunos matemáticos se refieren a todas esas variantes como ejemplos de hiperoperaciones.
donde Además, si se relaja la última condición (es decir, no hay potenciación), entonces también pueden incluirse las hiperoperaciones conmutativas, descritas más abajo.
Aunque se pueda enumerar cada hiperoperación explícitamente, generalmente no es el caso.
La mayoría de las variantes incluyen únicamente la funciones sucesoras (o adición) o adición) en su definición y redefinen la multiplicación (y más allá), sobre la base de una sola regla de recursión que se aplica a todas las categorías.
En 1928, Wilhelm Ackermann definió una función de 3 argumentos
que evolucionó gradualmente hacia una función de 2 argumentos que se conoce como la función de Ackermann.
Otra condición inicial que se ha utilizado es
), debida a Rózsa Péter, que no forma una jerarquía .
Una alternativa para estas hiperoperaciones se obtiene mediante la evaluación de izquierda a derecha.
Desde definir (con ° o subíndice) con Esto se extendió a los números ordinales por Donner y Tarski,[23][Definición 1] mediante:
Las hiperoperaciones conmutativas fueron analizadas por Albert Bennett ya en 1914,[6] lo cual es, posiblemente, la primera observación acerca de cualquier sucesión de hiperoperaciones.
Las hiperoperaciones conmutativas son definidos por la regla de la recursividad que es simétrica en a y b, es decir, todos las hiperoperaciones son conmutativas.
Esta secuencia no contiene potenciación, y así no se forma de una jerarquía de hiperoperaciones.