Número de Graham

Este número consiguió cierta fama popular cuando Martin Gardner lo describió en la sección «Mathematical Games» (Juegos Matemáticos) de la revista Scientific American en noviembre de 1977:Incluso si cada dígito ocupara una unidad de Planck (la menor unidad de medida posible), no alcanzaría todo el universo para representarlo.se revelan útiles para este propósito, aunque el número puede ser descrito mediante fórmulas recursivas por medio de la notación flecha de Knuth o fórmulas equivalentes, como hizo Graham.Los diez últimos dígitos del número de Graham son …2464195387.Actualmente, se le considera como el número representado matemáticamente más grande de todos.Desde el descubrimiento y uso del número de Graham, se han empleado números aún mayores en otras demostraciones matemáticas, por ejemplo, relacionadas con las variadas formas finitas de Friedman del teorema de Kruskal.Esta cota superior revisada por Graham fue posteriormente publicada (y apodada número de Graham) por Martin Gardner en [Scientific American, "Mathematical Games", noviembre de 1977].Equivalentemente, donde un superíndice en la f indica la iteración de la función.Esta última notación establece las siguientes cotas para G:Expandiendo verticalmente, esto se convierte en La magnitud de este primer término, g1, es tan grande que prácticamente escapa a la comprensión humana.n (con un valor muy grande de n), por lo que sus últimas cifras en base decimal deben satisfacer ciertas propiedades comunes a cualquier torre de este tipo.Este es un caso especial de una propiedad más general: las d últimas cifras decimales de todas las torres de este tipo de altura mayor que d+2 son independientes del "3" situado en la parte superior de la torre, es decir, el 3 situado arriba del todo se puede cambiar por cualquier otro entero no negativo sin afectar las d últimas cifras decimales.La siguiente tabla ilustra, para unos pocos valores de d, cómo ocurre esto.La longitud del ciclo y algunos de sus valores (entre paréntesis) se muestran en cada una de las celdas de la tabla: Las d cifras situadas en los últimos lugares que son comunes a todas las torres suficientemente altas' de treses están en negritas, y se pueden verificar desarrollando la torre a medida que aumenta su altura.x mod 10d, cuando x cubre los enteros no negativos, decrece progresivamente a medida que aumenta la altura, hasta reducirse a un solo valor (en las celdas con fondo azul) cuando la altura es mayor que d+2.Se puede describir un algoritmo simple[2]​ para calcular estas últimas cifras de esta manera: sea x = 3, luego itérese d veces la asignación x = 3x mod 10d.