Series de Madhava
[5] Ninguna obra conservada de Madhava contiene declaraciones explícitas con respecto a las expresiones que ahora llevan su nombre.
También se pueden rastrear en los trabajos de estos astrónomos y matemáticos posteriores las demostraciones indias de estos desarrollos en serie, que proporcionan suficientes indicaciones sobre el enfoque que Madhava había adoptado para llegar a sus resultados.
En numerosos escritos, estos autores han dejado constancia de que las series se usan "según lo dicho por Madhava".
Las traducciones de los versos relevantes que figuran en el Yuktidipika, un comentario del Tantrasamgraha (también conocido como Tantrasamgraha-vyakhya) escrito por Sankara Variar (circa.
Estos juntos dan la jiva, como se recoge en el verso que comienza con "vidvan", etc.
La última línea en el verso 'como se recopila en el verso que comienza con "vidvan", etc.′ es una referencia a una reformulación de la serie introducida por el propio Madhava para simplificar los cálculos para valores específicos del arco y del radio.
Madhava prescribe este esquema computacional numéricamente eficiente en las siguientes palabras (traducción del versículo 2.437 en Yukti-dipika): vi-dvān, tu-nna-ba-la, ka-vī-śa-ni-ca-ya, sa-rvā-rtha-śī-la-sthi-ro, ni-rvi-ddhā-nga-na-rē- ndra-rung Multiplica sucesivamente estos cinco números en orden por el cuadrado del arco dividido por el cuarto de la circunferencia (5400′), y resta del siguiente número.
Estos juntos dan el śara como se recoge en el verso que comienza con stena, stri, etc.
La última línea en el verso ′tal como se recoge en el verso que comienza con stena, stri, etc.′ es una referencia a una reformulación introducida por el propio Madhava para simplificar los cálculos necesarios para valores específicos del arco y del radio.
Sea R el radio de un círculo, una cuarta parte del cual mide C unidades.
La serie para el arco tangente de Madhava figura en los versos 2.206 – 2.209 del comentario al Yukti-dipika (conocido como Tantrasamgraha-vyakhya y escrito por Sankara Variar).
[12][13][14] Ahora, con el mismo argumento, se puede (establecer) la determinación del arco de un seno deseado.
Cuando uno ha convertido el cuadrado del seno en el multiplicador y el cuadrado del coseno en el divisor, ahora se debe determinar un grupo de resultados a partir de los resultados (anteriores) que comienzan desde el primero.
Mediante el mismo argumento, la circunferencia también se puede calcular de otra manera.
Sea s el arco del seno deseado (jya o jiva) y .
Entonces y / x = tan θ. Sustituyendo estos en la última expresión y simplificando, se obtiene Dejando que tan θ = q, finalmente se tiene que La segunda parte del texto citado especifica otra fórmula para el cálculo de la circunferencia c de un círculo que tiene un diámetro d, tal como sigue: Como c = π d, esto puede expresarse como una fórmula para calcular π de la siguiente manera: Esto se obtiene sustituyendo q =
