Aproximación de Padé

Han sido también aplicados a las aproximaciones diofantinas, aunque para resultados nítidos, típicamente son reemplazados por métodos en cierto sentido inspirados en la teoría de Padé.

Dada una función f y dos enteros m ≥ 0 y n ≥ 0, la aproximación de Padé de orden (m, n) es la función racional que concuerda con

en el máximo orden posible, lo que equivale a Equivalentemente, si

se expande en una serie de McLaurin (Serie de Taylor en 0), sus primeros m + n términos cancelarían los primeros m + n términos de

, y como tal La Aproximación de Padé es única para determinadas m y n, es decir, los coeficientes

, pueden ser determinados de manera unívoca.

habrían sido simplemente multiplicandos por la constante

A la Aproximación de Padé definida arriba se la denotada también como Para una

Para estudiar la suma de una Serie divergente, por ejemplo puede ser útil introducir la función simple racional de Padé donde es sólo la aproximación de orden (m, n) de la función f(x).

El valor de regularización zeta en s = 0 se toma como la suma de las series divergentes.

La ecuación funcional para la función zeta de Padé es donde

son los coeficientes en la aproximación de Padé.

El subíndice "0" significa que el Padé es del orden de [0 / 0] y por lo tanto, tenemos la función zeta de Riemann.