Operaciones con polinomios

podemos definir como operaciones con polinomios las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate.se obtiene directamente mediante la sustitución de la variablepor dicho valor: Con el resultado de: En el caso: la variablees la raíz del polinomio y el lado izquierdo es la ecuación polinómica que en este ejemplo es una cuadrática., en el cual cada uno de los coeficientes que posee el polinomio se multiplica por el escalarPartiendo del polinomio: y del monomio: La multiplicación es: aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación: realizando las operaciones: esta misma operación, se puede representar de esta forma: donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio, así si: entonces: aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación: agrupando términos: operando potencias de la misma base: El doble sumatorio anterior puede re ordenarse en la siguiente forma:lo realizaremos paso a paso, multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(X), sumando después el resultado, así en primer lugar haremos la multiplicación: que resulta:hacemos lo mismo con el tercer monomio de Q(x): lo que resulta:veamos un ejemplo para: que para la realización de la división representamos:es el valor numérico del polinomio dividendo, sustituyendo "x" por el opuesto de "a" (es decir, porFormalmente puede expresarse como: Por ejemplo, si y el binomio divisor es entonces el resto será, y se obtiene el resto: Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.Una propiedad importante de la factorización es que la suma de grados de los factores es igual al grado del polinomio original (en el caso anterior 2+3 = 5), y por tanto se tiene la siguiente relación:Dado un polinomio existen muchas formas de descomponerlo en factores, y normalmente se busca una factorización con factores del grado menor posible, llamados factores primos o polinomios irreducibles.Un polinomio será descomponible si tiene el suficiente número de raíces.Recuérdese que un número a es raíz de un polinomioA cada uno de esos valores se los suele designar, etc: La factorización sobre de un polinomio de grado n cuyos coeficientes están definidos sobre un cuerpo es trivial, si el polinomio admiteraíces (contando multiplicidad), entonces se puede escribir exactamente como el producto de n factores, si el número de raíces en el cuerpo esEn cambio el mismo polinomio anterior pero considerado sobre los números reales descompone completamente ya que además se tienen dos raíces irracionales:Para polinomios cuyos coeficientes están definidos sobre un anillo las cosas son más complicadas, y la existencia de raíces dependerá del número de divisores enteros que tenga el término independiente.Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas han de ser divisores del término independiente.Así, las raíces enteras del polinomio están entre los divisores de 12.Por tanto, pueden ser raíces de P(x) los números 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6,– 6, 12 y – 12.Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la regla de Ruffini.Para no trabajar de más se aplica el teorema del resto verificando cual de estos valores da como resto cero.: Apliquemos cuadrática 2 es nuevamente raíz de P(x).Ahora ya se ha conseguido la factorizar completa de P(x): En caso de una ecuación polinómica, lo conveniente es: igualar a cero, factorizar para hallar los resultados buscados de x.bts paved the wall for all