Función theta

Son importantes en diversas áreas, incluidas las teorías de variedades abelianas y espacios móduli, y de las formas cuadráticas.También se las ha aplicado a la teoría de solitones.Con respecto a una de las variables complejas (convencionalmente llamada z), una función theta expresa su comportamiento respecto a la adición de un período de las funciones elípticas asociados, lo que la hace una función cuasi periódica.En la teoría abstracta proviene de una condición descendente sobre un fibrado vectorial.La función theta de Jacobi (por el matemático Carl Gustav Jacobi) es una función definida por dos variables complejas τ y z, donde z puede ser cualquier número complejo y τ pertenece al semiplano superior, es decir que tiene su parte imaginaria positiva.Es dada por la fórmula Si τ es fijo, esta se convierte en una serie de Fourier para una función periódica respecto a z con período 1.En este caso, la función theta satisface la identidad La función también se comporta muy regularmente con respecto a su cuasi período τ y cumple la ecuación funcional donde a y b son enteros.Si fijamos z = 0 en las funciones anteriores, obtenemos cuatro funciones que varían sólo respecto a τ, definidas en el semiplano superior (a veces llamadas theta constantes.)Estas pueden utilizarse para definir una variedad de formas modulares, y para parametrizar ciertas curvas.Las llamadas funciones "Theta-Nullwert" tienen la siguiente representación de suma y la siguiente representación de producto: La función theta satisface la siguiente relación básica con el "Nomen q": Las siguientes dos fórmulas definen la integral elíptica completa del primer tipo y concuerdan entre sí.La identidad de Jacobi también surge como una combinación de tres relaciones cuadráticas: La combinación de estas tres fórmulas da la siguiente fórmula: Las identidades de Jacobi describen cómo se transforman las funciones theta bajo el grupo modular, que es generado por τ ↦ τ +1 y τ ↦ -1 / τ.Ya tenemos las ecuaciones de la primera transformación, para la segunda, sea entonces La relación fue utilizada por Riemann para demostrar la ecuación funcional de la función zeta de Riemann, usando la integral la cual es invariante bajo la sustitución de s por 1 − s. La función theta fue utilizada por Jacobi para construir sus funciones elípticas como los cocientes de las cuatro funciones theta, y podría también haber sido utilizada por él para la construcción de funciones elípticas de Weierstrass también, puesto que donde la segunda derivada es con respecto a la z y la constante c se define de manera que la expansión de LaurentSea η la función eta de Dedekind.Se ve más fácilmente tomando z = x reales, y teniendo τ = it, con t real y positivo.Entonces podemos escribir lo cual resuelve la ecuación de calor Que esta solución es única se puede ver observando que en t = 0, la función theta se convierte en el peine de Dirac: donde δ es la función delta de Dirac.Así, en general las soluciones pueden ser especificadas convolucionando la condición de frontera (periódica) en t = 0 con la función theta.Si F es una forma cuadrática en n variables, entonces la función theta asociado a F es con la sumatoria que se extiende sobre el reticulado Zn (n-uplas de números enteros).Sea el conjunto de matrices cuadradas simétricas cuya parte imaginaria es positiva definida.Aquí, elevar a la T denota la traspuesta de la matriz.Hn es llamado el semiplano superior de Siegel y es el análogo multidimensional del semiplano superior., la función theta de Riemann se define como Aquí,La función theta de Jacobi es entonces un caso especial, con n = 1 yEn la siguiente tabla se dan los valores lemnísticos de las funciones ϑ₁₀(x) y ϑ₀₀(x): Valores adicionales para ϑ₀₀(x): Y con la letra griegarepresenta la Constante de Gauss, que es el cociente de la constante lemníscatica dividido por el número del círculo π.Sus resultados fueron publicados posteriormente en el Journal of Mathematical Analysis and Applications.Además, se aplican los siguientes valores: Estos dos valores se pueden determinar directamente usando la Fórmula de suma de Poisson: La función ϑ₀₀ tiene estos valores de función equianarmónica: Algunos valores equianarmónicos de la función theta han sido explorados en particular por los matemáticos Bruce Carl Berndt y Örs Rebák.Pero una solución general es muy posible con la ayuda de las funciones elípticas.Para la siguiente ecuación quíntica en forma de Bring-Jerrard, la solución general se puede representar en forma simplificada con la función theta ϑ₀₀: Para todos los valores realesse puede evocar exactamente correctamente con el siguiente algoritmo:A continuación, tres ecuaciones se tratan como ejemplos, que pueden resolverse con la función theta de Jacobi, pero no pueden resolverse en absoluto con expresiones de raíces elementales: El mismo patrón también se realiza en la siguiente ecuación: Este es un tercer ejemplo: