El número π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclidiana.

, tal como consignó en su obra Medición del círculo, ciertamente con otra notación.

[7]​ Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante.

; dos definiciones son posibles: Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767).

En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.

También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,[11]​ 1953), es decir, no solo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales «rápidamente convergente» (Stoneham 1970[cita requerida]).

afirmando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9; es decir, igual a 8/9 del diámetro.

El método usado por Arquímedes[19]​ era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos.

Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero romano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido.

A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta calcula

Hacia 1400 Madhava obtiene una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la estimación.

Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usaron polígonos de hasta 393 216 lados para aproximarse con buena precisión a 3,141592653.

Los libros de matemática alemanes durante muchos años denominaron a π como número ludolfiano.

Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente serie matemática que lleva su nombre: El inglés William Oughtred fue el primero que empleó la letra griega π como símbolo del cociente entre las longitudes de una circunferencia y su diámetro.

= π» y propuso usar siempre el símbolo π, y fue Leonhard Euler el que al adoptarlo en 1737 lo convirtió en la notación habitual que se usa hasta nuestros días.

Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.

En el año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en el quingentésimo vigésimo octavo dígito decimal (528.º) de la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos subsiguientes eran erróneos.

[27]​ Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posible.

En la matemática moderna, π es a menudo definido usando funciones trigonométricas, por ejemplo como el menor entero positivo

Equivalentemente, π puede ser definido usando funciones trigonométricas inversas, por ejemplo como

Aunque no es una constante física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo, no necesariamente relacionada con las características geométricas del círculo, sino usada, por ejemplo, para describir fenómenos periódicos como ondas y ciclos.

Debido en gran parte a su relación con la naturaleza del círculo y, correspondientemente, con el sistema de coordenadas esféricas (sistema usado ampliamente en física por sus propiedades de simetría radial).

En probabilidad y estadística, hay muchas distribuciones cuyas fórmulas contienen a π, incluyendo: Nótese que para todas las funciones de densidad de probabilidad se cumple que

La limitación no está en la computación sino en la memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de números.

Obtenemos el punto E como intersección del arco DE, con centro en B, y la circunferencia.

Es muy frecuente emplear poemas como regla mnemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.

Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!» Nótese que para el segundo 1 (3,14159…) se utiliza la letra griega π.

«Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral.

Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual.» (del autor Rafael Nieto París[65]​) Aquí también se utiliza la letra griega π para el primer 1.«How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!»[66]​ Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el titulado «Cadaeic Cadenza», escrito en 1996 por el matemático Michael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizar los primeros 3834 dígitos.

Según determinadas coincidencias numéricas, los Días de Aproximación a Pi son: