Lemniscata de Bernoulli
En geometría, la lemniscata de Bernoulli es una curva plana unicursal definida a partir de dos puntos dados F1 y F2, conocidos como focos, situados a una distancia de 2d entre sí, como el lugar geométrico de los puntos P tales que el producto de su distancia a los dos focos es constante y vale d2: La curva posee una forma similar al número 8 y al símbolo del ∞.
El símbolo del infinito en sí mismo es a veces llamado lemniscata.
Lleva el nombre del matemático y físico suizo Jakob Bernoulli.
Su nombre en latín, lemniscatus, hace referencia a un objeto "decorado con cintas colgantes".
[1] Jakob Bernoulli la redescubrió en 1694 durante su trabajo sobre la elipse,[2] y la llamó lemniscus.
Halló el área limitada por esta curva y usó la figura de la lemniscata en la portada de su obra con la leyenda «Multifariam divisa atque dimensa.
Deo veritatis gloria» (Dividida muchas veces y medida.
Alrededor de 1800, las funciones elípticas implicadas en esas integrales fueron estudiadas por Carl Friedrich Gauss (en gran parte su trabajo no fue publicado en ese momento, pero dejó numerosas alusiones en las notas a su obra "Disquisitiones arithmeticae").
El par fundamental de períodos posee una forma muy especial y son proporcionales a enteros gaussianos.
como Una opinión popular sostiene que la lemniscata de Bernoulli se considera el símbolo del infinito [∞] porque es una curva que se puede recorrer sin fin.
Sin embargo, la invención del símbolo se atribuye al matemático John Wallis, contemporáneo de Bernoulli.
[5] Esta curva se puede obtener como la inversión de una hipérbola equilátera, situando la circunferencia que define la inversión con su centro coincidente con el centro de la hipérbola (el punto medio de sus dos focos).
También puede dibujarse con un acoplamiento mecánico en forma de mecanismo de Watt, con las longitudes de las tres barras del enlace y la distancia entre sus puntos finales elegidos para formar un cuadrado antiparalelogramo.
[6] Se calculan diferenciando la función implícita Para una lemniscata con distancia
desde un foco al origen, se tiene que: El área delimitada por la lemniscata de Bernoulli es:[7] Cuadratura de la lemniscata: imposible para el círculo, la cuadratura exacta es posible para la lemniscata de Bernoulli.
es una integral elíptica de primera especie y Γ es la función gamma.
El siguiente teorema sobre los ángulos de la lemniscata se debe al matemático alemán Gerhard Christoph Hermann Vechtmann, quien lo describió en 1843 en su disertación sobre las lemniscatas.
Alternativamente, se puede definir una lemniscata de Bernoulli como el conjunto de puntos M que satisfacen la relación: O también que :
También representa la sección de un toro particular por un plano tangente a su ecuador interior.
Sea OF = d. En coordenadas polares (el eje polar es OF), la lemniscata de Bernoulli admite la ecuación: y como se ha dicho: o: lo que es correcto, puesto que
: En coordenadas cartesianas (el eje x es OF), y la lemniscata de Bernoulli se define según la ecuación (implícita): La ecuación polar
pero generalmente es más conveniente manipular la ecuación implícita que usar esta expresión explícita de y.
Partiendo de la ecuación en coordenadas polares ρ2 = 2d2cos2θ, se puede representar la lemniscata de Bernoulli mediante las dos ecuaciones siguientes, tomando como parámetro el ángulo polar θ: Sin embargo, esta representación tiene el defecto de que, una vez finalizado el proceso, es necesario variar θ de –π/4 a +π/4 y luego de 5π/4 a 3π/4, una variación que no es continua ni monótona.
Una mejor representación paramétrica viene dada por: donde: Haciendo el cambio de variable tanθ = cosφ: No queda más que remplazar
La lemniscata se recorre una vez variando φ de –π a +π.
El parámetro φ está conectado directamente al ángulo polar por la relación cosφ = tanθ, o θ = arctan(cosφ).
También se puede convertir la representación anterior, trigonométrica, en una representación paramétrica racional: entonces: La lemniscata se recorre una vez variando t de –∞ a +∞.
En coordenadas polares (siendo el eje polar OA), la lemniscata de Bernoulli admite la ecuación: En coordenadas cartesianas (el eje x es OA), la lemniscata de Bernoulli tiene como ecuación implícita: La abscisa x describe el intervalo [–a, a] (los límites se alcanzan para y = 0).
Es posible expresar y de acuerdo con x: pero generalmente es más conveniente manipular la ecuación implícita que usar esta expresión explícita de y.
La dinámica en esta curva y sus versiones más generalizadas se estudian en modelos quasi unidimensionales.
