Función elíptica lemniscática

En matemáticas, una función elíptica lemniscática es un tipo de función elíptica relacionada con la longitud del arco de una lemniscata de Bernoulli, como el seno lemniscático (abreviado sinlemn o

) y el coseno lemniscático (abreviado coslemn o

Estas funciones matemáticas especiales, introducidas por el matemático Carl Friedrich Gauss, se corresponden con las funciones seno coseno de una circunferencia.

Históricamente, son las dos primeras de las que posteriormente serían conocidas como funciones elípticas.

(según se supo en notas publicadas después de su muerte y en su propio diario).

Matemáticamente, esto le llevó a determinar la función inversa

de la integral elíptica Gauss llamó a esta función inversa sinus lemniscatus y le asignó la notación

la media aritmética geométrica de los dos valores dados.

Su otra idea clave era no solo definir las funciones

Carl Gustav Jakob Jacobi introdujo las llamadas funciones elípticas de Jacobi alrededor de 1830, generalizando las dos funciones lemniscáticas.

En el caso lemniscático, el semiperíodo mínimo ω1 es real e igual a donde Γ es la función gamma.

El segundo semiperíodo, más pequeño, es imaginario puro e igual a iω1.

Las constantes e1, e2 y e3 están dadas por El caso g2 = a, g3 = 0 puede ser manejado mediante una transformación de escala.

Sin embargo, esto puede involucrar números complejos.

El paralelogramo de los períodos es un cuadrado o un rombo.

Las funciones seno lemniscático (latín: sinus lemniscatus) y coseno lemniscático (latín: cosinus lemniscatus) (alternativamente, sinlemn o también sl; y coslemn o también cl) son análogas a las funciones seno y coseno habituales, con un círculo reemplazado por una lemniscata.

Están definidas por donde y donde Son funciones doblemente periódicas (o elípticas) en el plano complejo, con los períodos 2πG y 2πiG, donde la constante de Gauss G viene dada por Dado que los períodos tienen el mismo módulo y son ortogonales, su retícula compleja es cuadrada.

se puede deducir directamente del seno lemniscático

Existe una relación directa entre las dimensiones de una lemniscata de Bernoulli definida con la constante del producto de distancias 1/2, es decir, con los focos en (1/√2, 0) (−1/√2, 0), o lo que es lo mismo, definida para (-1 ≤ x ≤ 1), cuya ecuación implícita es: La longitud s del arco desde el origen hasta un punto a la distancia r del origen viene dada por Para la lemniscata de Bernouilli anteriormente descrita completa, con sus dos lóbulos, se tiene que su longitud total es: La función seno lemniscático es la recíproca de la integral anterior, y permite calcular para cada punto de la curva su distancia r desde el origen en función de la longitud de su arco desde el origen s. De manera similar, la función coseno lemniscático da la distancia desde el origen, en función de la longitud del arco desde (1, 0).