Vechtman nació en Wittmund, en la parte norte de Reino de Hannover en Alemania, donde su padre trabajaba como predicador.
De los 10 a los 15 años asistió a la escuela local antes de asistir durante tres años al liceo (escuela secundaria) en la vecina localidad de Aurich.
Después de la escuela, Vechtmann estudió matemáticas y ciencias en Berlín y Gotinga, donde se convirtió en miembro del seminario pedagógico (instituto para la formación docente) y enseñó en el liceo local hasta que fue nombrado Hofmeister en la Ritterakademie de Luneburgo en 1841.
Finalmente, fue nombrado director del liceo recién fundado en Rendsburg en 1856.
[1][2] En su disertación "De curvis lemniscatis", examinó la lemniscata de Bernoulli y descubrió una sorprendente propiedad angular en ella.