Unicursal
En matemáticas, más precisamente en geometría, un curva plana se llama unicursal, o racional si admite un parametrización de modo que sus coordenadas
sean ambas fracciones racionales del parámetro.
Una recta es unicursal, ya que admite una representación paramétrica de la forma donde
es un vector director de la recta.
Cuando tiene su centro en el origen de coordenadas y radio 1, tiene la siguiente representación paramétrica: De hecho, la imagen
de esta función no es la circunferencia completa, ya que carece del punto de coordenadas
Pero se admite que este punto es la imagen del
Las secciones cónicas no degeneradas también son unicursales.
Por ejemplo, la parametrización racional de una hipérbola: Una curva cúbica es unicursal si y solamente si admite un punto doble, es decir, solamente si es nodal o cuspidal.
[1] En particular, una curva elíptica no es unicursal.
El folium de Descartes tiene representación paramétrica El punto doble es el origen
En general, los estrofoides son unicursales.
La cisoide de Diocles admite la representación paramétrica Es incluso más que racional, ya que
Un ejemplo de una curva cuártica unicursal es la lemniscata de Bernoulli, cuya ecuación paramétrica es Al eliminar
, cualquier curva unicursal es algebraica.
Una curva algebraica no es necesariamente unicursal.
Se puede demostrar que la curva afín del plano de ecuación
Por lo tanto, es unicursal y admite una parametrización racional, por ejemplo: con
no tiene una representación paramétrica racional (una función de
que toma solo los valores 1 y -1 no puede ser racional).
Sin embargo, esta cónica degenerada consta de dos componentes, las dos líneas de ecuación
, que son unicursales por separado.
Por el contrario, una cúbica que tiene un punto doble es de género 0.
son en sí mismas racionales.
Por lo tanto, se puede usar la representación paramétrica de una curva unicursal para obtener puntos con coordenadas racionales de esta.
Ejemplo: la búsqueda de puntos con coordenadas racionales en el círculo de radio unidad (véase arriba) está vinculada a la de la terna pitagórica.
John Clark Brixey[2] usó representaciones paramétricas racionales del círculo y del folium de Descartes para crear nomogramas de la multiplicación (círculo graduado de doble entrada, con una recta graduada, y el folium triplemente graduado).
