El método de descomposición en fracciones simples consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado.
Se utiliza principalmente en cálculo integral.
El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.
Para mayor claridad, sea: donde:
Para reducir la expresión a fracciones parciales se debe expresar la función
{\displaystyle B(x)\,}
de la forma: es decir, como el producto de factores lineales o cuadráticos.
Se distinguen 4 casos: Donde ningún par de factores es idéntico.
son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.
Donde los pares de factores son idénticos.
son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.
Donde ningún par de factores es igual.
son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.
son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.
Para hallar las constantes, en el caso de factores lineales distintos se puede utilizar la siguiente fórmula: en donde
Para los otros casos no existe una formulación específica.
Sin embargo, estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de ecuaciones con cada una de las
, la resolución del sistema proporciona los valores de los
Se puede descomponer en
Necesitamos encontrar los valores a y b El primer paso es deshacernos del denominador, lo que nos lleva a: Simplificando El siguiente paso es asignar valores a x, para obtener un sistema de ecuaciones, y de este modo calcular los valores a y b.
Sin embargo, podemos hacer algunas simplificaciones asignado Para el caso de a observamos que
nos facilita el proceso Siendo el resultado, el siguiente Sea
Se puede descomponer de esta manera multiplicando por
, tenemos ejemplo: Simplificando Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuaciones Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos finalmente Tenemos
que se puede convertir en
b x + c
Tenemos Simplificando Ahora podemos asignar valores a x Resolviendo el sistema, resulta
Y el problema se resuelve de esta manera