Se llama ecuación diofántica o ecuación diofantina a cualquier ecuación algebraica, de dos o más incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan soluciones enteras o naturales, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros.perteneciente a los enteros, tenga solución, es que el máximo común divisor deLa palabra Diofantino hace referencia al matemático helenístico del siglo III, Diofanto de Alejandría, que realizó un estudio de tales ecuaciones y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo en el álgebra.Por ejemplo, en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores deUn problema matemático muy famoso que se resuelve por medio de ecuaciones diofánticas es el del mono y los cocos.Le sumamos o restamos el módulo al residuo, en este caso; de manera que el residuo pueda ser divisible entreYa que ahora sí se puede dividir, hacemos lo siguiente:siempre será igual al residuo (en este ejemplo: +5), debido a que es el menor valor posible dees una terna pitagórica solución de la ecuación pitagórica también lo serán: Se dice que una terna es primitiva, si el máximo común divisor dePuede verse que en esas condiciones todas las ternas primitivas que son soluciones de la ecuación pitagórica son de la forma:[8]fue resuelta automáticamente por Ramanujan, quien dio como soluciones -contemplando las cifras que aparecían en la placa de un automóvil- los pares ordenados (1,12), (12,1) (10,9) (9,10).[11] En 1900, David Hilbert propuso una famosa lista de problemas cuya solución se considera que concedería grandes aportaciones a las matemáticas.El problema fue resuelto finalmente en 1970, cuando un resultado novedoso en lógica matemática conocido como teorema de Matiyasevich contestaba negativamente al problema de Hilbert: no existe un procedimiento general que permita establecer cuantas soluciones tiene una ecuación diofántica.Las preguntas que se hacen en el análisis diofantino incluyen: Estos problemas tradicionales a menudo quedaron sin resolver durante siglos, y los matemáticos llegaron gradualmente a comprender su profundidad (en algunos casos), en lugar de tratarlos como rompecabezas.Muchos rompecabezas bien conocidos en el campo de las matemáticas recreativas conducen a ecuaciones diofánticas.En 1637, Pierre de Fermat garabateó en el margen de su ejemplar de Arithmetica: «Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o en general, cualquier potencia superior a la segunda, dividida en dos potencias iguales.» Dicho en un lenguaje más moderno, «La ecuación {{math|1=“”an“” + bn = cn} } no tiene soluciones para ningún n mayor que 2.» A continuación escribió: «He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esta proposición, que este margen es demasiado estrecho para contener».Sin embargo, tal demostración eludió a los matemáticos durante siglos y, como tal, su declaración se hizo famosa como El último teorema de Fermat.No fue hasta 1995 que fue demostrado por el matemático británico Andrew Wiles.En 1657, Fermat intentó resolver la ecuación diofántica 61x2 + 1 = y2 (resuelto por Brahmagupta más de 1000 años antes).La solución más pequeña de esta ecuación en números enteros positivos es x = 226153980, y = 1766319049 (ver Chakravala método).En 1970, Yuri Matiyasevich lo resolvió negativamente, basándose en el trabajo de Julia Robinson, [[Martin Davis (matemático)] Martin Davis]] y Hilary Putnam para demostrar que un general algoritmo para resolver todas las ecuaciones diofánticas no puede existir.El método general más antiguo para resolver una ecuación diofantina — para demostrar que no hay solución — es el método del descenso infinito, que fue introducido por Pierre de Fermat.Otro método general es el principio de Hasse que utiliza la aritmética modular módulo de todos los números primos para encontrar las soluciones.La dificultad de resolver ecuaciones diofánticas queda ilustrada por el décimo problema de Hilbert, planteado en 1900 por David Hilbert; se trataba de encontrar un algoritmo para determinar si una ecuación diofántica polinómica dada con coeficientes enteros tiene una solución entera.El teorema de Matiyasevich implica que tal algoritmo no puede existir.Durante el siglo XX, se ha explorado a fondo un nuevo enfoque, consistente en utilizar la geometría algebraica.El número de maneras en que esto puede hacerse para cada n forma una secuencia entera.Esta ecuación siempre tiene solución para cualquier n positivo.que no siempre tiene solución para n positivo.
