Plano de Möbius
En matemáticas, el plano de Möbius clásico (llamado así en referencia al matemático alemán August Möbius (1790-1868)) es un plano complementado con un único punto del infinito.
También se le llama plano inverso porque está cerrado bajo inversión con respecto a cualquier círculo generalizado y, por lo tanto, es el entorno natural para el plano en geometría inversiva.
La inversión del plano con respecto a una recta es una reflexión euclídea.
Los planos afines son sistemas de puntos y rectas que satisfacen, entre otras, la propiedad de que dos puntos determinan exactamente una recta.
Este concepto se puede generalizar a sistemas de puntos y circunferencias, estando cada circunferencia determinada por tres puntos no colineales.
Sin embargo, tres puntos colineales determinan una recta, no una circunferencia.
Este inconveniente se puede eliminar agregando un punto del infinito a cada recta.
Si se denominan "ciclos" tanto a las circunferencias como a las líneas rectas completas, se obtiene una estructura de incidencia en la que cada tres puntos determinan exactamente un ciclo.
En un plano afín la relación de paralelismo entre líneas es esencial.
Dos rectas completas se tocan si solo tienen en común el punto en el infinito, por lo que son paralelas.
Afortunadamente, hay muchos cuerpos (números) junto con formas cuadráticas adecuados que conducen a planos de Möbius (véase más abajo).
Estos ejemplos se denominan miquelianos porque cumplen el teorema de Miquel.
Todos estos planos miquelianos de Möbius pueden describirse mediante modelos espaciales.
La ventaja esencial del modelo espacial es que cualquier ciclo es simplemente una circunferencia (en una esfera).
es el conjunto de puntos, las líneas rectas están descritas por las ecuaciones
(es decir, el grupo proyectivo lineal PGL(2,C), según la transformación de Möbius).
Por lo tanto, de la condición (4) se deduce que: Por ejemplo:
Esta propiedad da lugar al nombre alternativo de plano inverso.
No se debe esperar que los axiomas anteriores definan el plano real clásico de Möbius.
El significado esencial del residuo se muestra en el siguiente teorema.
es un plano de Möbius si y solo si se cumplen las siguientes condiciones propiedad se cumple Para planos finitos de Möbius, es decir,
Se caracterizan (como el modelo clásico) por una enorme homogeneidad y por el teorema de Miquel enunciado a continuación: Teorema (Miquel): Para el plano de Möbius
que se pueden asignar a los vértices de un cubo tal que los puntos en 5 caras corresponden a cuadrupletes concíclicos, el sexto cuadruplete de puntos también es concíclico.
Debido al último teorema, un plano de Möbius
, el cuerpo de los números complejos, no existe ninguna forma cuadrática adecuada.
Observación: Una prueba del teorema de Miquel para el caso clásico (real) puede encontrarse en el artículo dedicado al teorema de Miquel.
Es elemental y se basa en el teorema del ángulo inscrito.
Un plano de Möbius ovoidal es la geometría de las secciones planas de un ovoide, un conjunto cuadrático que tiene las mismas propiedades geométricas que una esfera en un espacio tridimensional proyectivo: 1) una línea recta corta a un ovoide en ninguno, uno o dos puntos y 2) en cualquier punto del ovoide el conjunto de las líneas tangentes forman un plano, denominado plano tangente.
Se puede construir un ovoide simple en un espacio tridimensional real pegando dos mitades adecuadas de elipsoides diferentes, de modo que el resultado no sea una cuádrica.
Los planos ovoidales de Möbius se caracterizan mediante el teorema del haz.
