Serie (matemática)

Este procedimiento para sumar los términos de la sucesiónse denota como la sucesión: la cual hace referencia al siguiente procedimiento:[1]​ A diferencia de las sumas finitas (-ésimas sumas), las series requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas.La secuencia infinita de sumas que implica una serie no puede llevarse a cabo de forma efectiva (al menos en un tiempo finito).Sin embargo, si el conjunto al que pertenecen los términos y sus sumas finitas tiene una noción de límite, a veces es posible asignar un valor numérico a una serie.-ésima suma), y mediante un paso al límite, identificar el comportamiento de la serie a medida queCuando este límite existe, lo cual no siempre ocurre, se dice que la serie es convergente o sumable, o que la sucesión[1]​ En caso contrario, se dice que la serie es divergente[2]​, para fines prácticos se expresa verbalmente que "la serie diverge aLa noción de serie se puede generalizar a otros objetos matemáticos para los cuales la operación suma esté definida, tal como los números, los vectores, las matrices, las funciones, etc. De particular interés en matemáticas son las series de potencias.Durante mucho tiempo, la idea de que tal potencialmente infinito de la suma pudiera producir un resultado finito fue considerada paradójica.Esta paradoja se resolvió utilizando el concepto de límite durante el siglo XVII.Zenón llegó a la conclusión de que Aquiles no podría nunca alcanzar a la tortuga, y por tanto ese movimiento no existe.En terminología moderna, cualquier secuencia infinita (ordenada)de términos (es decir, números, funciones, o cualquier cosa que se pueda sumar) define una serie, que es la operación de sumar los ai uno tras otro.En este caso, el conjunto de todas las series es a su vez un anillo (e incluso un álgebra asociativa), en el que la suma consiste en sumar las series término a término, y la multiplicación es el producto de Cauchy.es cualquier secuencia ordenada de términos, como números, funciones, o cualquier otra cosa que se pueda añadir (un grupo abeliano).colocándolos uno al lado del otro, y uniéndolos con el símbolo "+".Una serie también puede representarse utilizando notación de suma, como por ejemplo Si un grupo abeliano A de términos tiene un concepto de límite (por ejemplo, si es un espacio métrico), entonces algunas series, las series convergentes, pueden interpretarse como si tuvieran un valor en A, llamado la suma de las series.converge al límite L (o simplemente suma a L), si la secuencia de sus sumas parciales tiene un límite L.[4]​ En este caso, se suele escribir Se dice que una serie es convergente si converge a algún límite, o divergente cuando no lo hace.de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada: La sucesión de sumas parcialesEsta definición suele escribirse como En caso de que[5]​ Puede ser que la sucesión de sumas parcialesEn tal caso se dice que la serie es divergente.Tales series se dice que son condicionalmente convergentes.se puede expresar mediante la serie Dado que estas series siempre convergen en los números reales, no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan.converge, entonces Existen diversos criterios para determinar si una serie es convergente.Se conocen resultados concretos cuando los términos de la sucesión cumplen alguna condición.una función real monótona, decreciente y no negativa, entonces el valor de la serie está acotado inferior y superiormente por las siguientes integrales impropias: En particular, la serie tiene el mismo carácter (convergente o divergente) que la integral del lado izquierdo de la desigualdad.El producto de dos series no resulta tan inmediato.Con frecuencia se considera el llamado producto de Cauchy, que se define como El producto de dos series convergentes puede no ser convergente.