Euclides formuló la primera demostración en la proposición 20 del libro IX de su obra Elementos.Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q (q=p1p2 ··· pn+1).Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia q-p1p2 ··· pn=1, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original.Existen numerosas demostraciones parecidas a ésta, que se formulan a continuación: Supóngase que existe una cantidad finita de números primos p1 < p2 < p3 < ... < pr.El entero N-1, al ser producto de primos, tiene un divisor pi que también es divisor de N; así que pi divide a N - (N-1) = 1.Sea n=1, 2, 3, ... y qn el factor primo más pequeño de n!Lema: Dos números de Fermat distintos Fm y Fn son primos entre sí.En un artículo de 1737 titulado Variae observationes circa series infinitas Euler dio otra demostración.Sin embargo, todos los números enteros, salvo -1 y 1, son múltiplos de algún número primo, así que el complementario de A es {-1, 1} que no es abierto.
