Sucesión de Sylvester
La manera en que se define permite que sus términos se factoricen más fácilmente que otros números del mismo orden de magnitud, pero, debido al ritmo de crecimiento de los mismos, sólo se conoce la factorización completa en factores primos de unos pocos términos.
Obviamente esta identidad es cierta para j = 0, ya que los dos miembros son cero.
Para un j mayor, al expandir el miembro izquierdo de la identidad mediante la hipótesis de inducción se obtiene como se quería demostrar.
, y por tanto cualquier fracción egipcia de un número perteneciente al intervalo abierto (
Además, si se exceptúa el primer término, los demás se pueden ver como los denominadores de la expansión voraz impar de
[2] De esta fórmula se deriva el siguiente algoritmo: Este algoritmo sólo tendría un uso práctico si hubiese una forma mejor de calcular E con la precisión requerida en lugar de calcular sn y tomar repetidamente su raíz cuadrada.
crece lo suficientemente rápido como para que y si la serie converge a un número racional A, entonces, para cada n después de cierto punto, esta sucesión debe estar definida por la misma recurrencia que se emplea para definir la sucesión de Sylvester.
Erdős (1980) conjeturó que, para este tipo de resultados, la desigualdad matemática que acota el crecimiento de la sucesión se podría reemplazar por una condición más débil, Badea (1995) estudia los progresos relacionados con esta conjetura, véase también Brown.
Por ejemplo, no se sabe si todos los términos de la sucesión son libres de cuadrados, aunque todos los que se conocen lo son.
Como Vardi (1991) describe, es fácil determinar a qué número de Sylvester (si es que hay alguno) divide un número primo p dado: basta con calcular la recurrencia que define la sucesión módulo p hasta encontrar, bien un número congruente con cero (mod p) o un módulo repetido.
La siguiente tabla muestra la factorización de estos números (excepto los cuatro primeros, que son primos) hasta donde se conoce:[4] Pn y Cn denotan, respectivamente, números primos y compuestos, de n cifras.
